Cách Xét Tính Liên Tục Của Hàm Số - Các Dạng Bài Tập Và Ví Dụ

1. Các dạng toán về xét tính liên tục của hàm số và cách thức giải

Phần kỹ năng về tính chất liên tiếp của hàm số là chủ thể rất rất cần thiết vô công tác toán 11 bậc trung học phổ thông. Bài tập dượt xét tính liên tục của hàm số xuất hiện tại thật nhiều trong số đề đánh giá, đề thi đua trung học phổ thông Quốc gia trong năm. Để ăn cứng cáp điểm của dạng bài xích này, những em nằm trong VUIHOC điểm lại 6 dạng toán về xét tính liên tục của hàm số, kèm cặp cách thức và ví dụ giải cụ thể nhé!

1.1. Dạng 1: Xét tính liên tiếp của hàm số bên trên 1 điểm

Phương pháp giải cộng đồng của dạng xét tính liên tục của hàm số bên trên một điểm như sau:

Cho hàm số nó = f(x). Xét tính liên tiếp của hàm số nó bên trên điểm x = x₀, học viên rất có thể triển khai theo dõi 2 cơ hội sau đây:

Cách 1:

• Bước 1: Tính độ quý hiếm của hàm số nó bên trên x₀ (Tính f(x₀))

• Bước 2: Tính độ quý hiếm $\underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}f(x)$

• Bước 3: Nếu $\underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}f(x)=f(x_{0})$ thì tớ được hàm số f(x) liên tiếp bên trên điểm x₀.

Cách 2: 

• Bước 1: Tính độ quý hiếm $\underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}f(x)$

• Bước 2: Tính độ quý hiếm $\underset{x\rightarrow x_{0}^{+}}{lim}f(x)$

• Bước 3: Nếu độ quý hiếm $\underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow x_{0}^{+}}{lim}f(x)=f(x_{0})$ thì tớ với hàm số f(x) liên tiếp bên trên điểm x₀.

Ví dụ minh họa dạng 1:

Ví dụ 1: Xét tính liên tiếp của hàm số $f(x)=\frac{x^{2}-4}{x+2}$ bên trên điểm x = -2

Giải:

Ta thấy f(-2) ko xác lập, cho nên vì vậy hàm số f(x) ko liên tiếp bên trên x = -2.

Ví dụ 2: 

a. Tìm $\underset{x\rightarrow x_{2}}{lim}f(x)$

b. Xét tính liên tiếp của f(x) bên trên x = 2 và x = -2

Giải:

a. Ta với $\underset{x\rightarrow x_{2}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow x_{2}}{lim}\frac{3-\sqrt{x^{2}+5}}{x^{2}-4}=\underset{x\rightarrow x_{2}}{lim}\frac{9-x^{2}-5}{(x^{2}-4)(3+\sqrt{x^{2}+5})}=\underset{x\rightarrow x_{2}}{lim}\frac{-1}{3+\sqrt{x^{2}+5}}=-16$

b. Từ phần a, tớ rất có thể suy đi ra $\underset{x\rightarrow x_{2}}{lim}f(x)=f(2)$. Như vậy, hàm số đang được mang lại liên tiếp bên trên điểm x = 2. trái lại, hàm số nó = f(x) ko xác lập bên trên x = -2 nên nó ko liên tiếp bên trên x = -2.

1.2. Dạng 2: Xét tính liên tiếp của hàm số bên trên một khoảng chừng, đoạn hoặc tập dượt xác định

Hàm số f(x) liên tiếp bên trên một quãng, khoảng chừng hoặc tập dượt xác lập nế như đó liên tiếp bên trên từng điểm bên trên đoạn, khoảng chừng hoặc tập dượt xác lập bại liệt.

Lưu ý:

• Hàm số f(x) liên tiếp bên trên đoạn [a;b] Lúc hàm số bại liệt liên tiếp bên trên khoảng chừng (a;b) và thỏa mãn nhu cầu điều kiện:

$\underset{x\rightarrow a^{+}}{lim}f(x)=f(a),\underset{x\rightarrow b^{-}}{lim}f(x)=f(b)$

• Hàm số nhiều thức thông thường với đặc điểm liên tiếp bên trên toàn cỗ tập dượt số thực R.

• Hàm số phân thức hữu tỉ, hàm con số giác liên tiếp bên trên từng khoảng chừng của tập dượt xác lập của bọn chúng.

Phương pháp xét tính liên tục của hàm số bên trên một khoảng chừng, đoạn hoặc tập dượt xác định:

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Xét tính liên tiếp bên trên R của hàm số sau:

$\left\{\begin{matrix}
\frac{x^{2}+5x}{x} và Lúc \, x \neq 0\\ 
5 và Lúc \, x=0
\end{matrix}\right.$

Giải: Ta thấy Lúc $x\neq 0$, hàm số đề bài xích là hàm phân thức và trọn vẹn xác lập nên f(x) liên tiếp bên trên từng khoảng chừng $(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$.

Do vậy, tớ cần thiết xét tính liên tục của hàm số bên trên điểm x = 0. Ta có:

• Giá trị của hàm số bên trên x = 0: f(0) = 5 

• Giới hạn của f(x) bên trên x = 0 là:

$\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}\frac{x^{2}+5x}{x}=\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}(x+5)=5$

Vì $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)=f(0)$, cho nên vì vậy hàm số f(x) liên tiếp bên trên x = 0.

Kết luận: Hàm số đề bài xích liên tiếp bên trên tập dượt R.

Ví dụ 2: Xét tính liên tiếp của hàm số sau bên trên tập dượt xác định:

$f(x)\left\{\begin{matrix}
2x-1 và Lúc \, x <  0\\ 
\sqrt{x} và Lúc \, x\geq 0
\end{matrix}\right.$

Giải: Ta thấy tức thì, tập dượt xác lập của f(x) là R.

Trường ăn ý x < 0: $f(x) = 2x - 1$ là hàm số liên tiếp.

Trường ăn ý x > 0: $f(x) = \sqrt{x}$ là hàm số liên tiếp.

Từ bại liệt suy đi ra, tớ chỉ việc xét thêm thắt tính liên tiếp của hàm số bên trên x = 0 là rất có thể Tóm lại.

Tại x = 0, tớ có:

$\underset{x\rightarrow x_{0}^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow x_{0}^{+}}{lim}\sqrt{x}=0$

$\underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}(2x-1)$

$=-1$

Ta thấy: $\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}f(x)=f(0)\neq \underset{x\rightarrow 0^{-}}{lim}f(x)$, suy đi ra hàm số bị loại gián đoạn bên trên x=0.

Kết luận: hàm số đang được mang lại ko liên tiếp bên trên tập dượt xác lập.

Đăng ký tức thì sẽ được những thầy cô tổ hợp kỹ năng và kiến tạo trong suốt lộ trình ôn thi đua chất lượng tốt nghiệp trung học phổ thông sớm kể từ bây giờ

1.3. Dạng 3: Tìm điểm loại gián đoạn của hàm số f(x)

Điểm loại gián đoạn của hàm số f(x) tức thị tồn bên trên một điểm x₀ khiến cho hàm số f(x₀) ko liên tiếp.

Để giải được bài xích tập dượt dạng mò mẫm điểm loại gián đoạn của hàm số f(x), tớ thực hiện theo lần lượt theo dõi quá trình sau đây:

• Bước 1: Tìm độ quý hiếm f(x₀)

• Bước 2: Tính độ quý hiếm $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x), \underset{x\rightarrow x_{0}^{+}}{lim}f(x), \underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}f(x)$

• Bước 3: So sánh f(x₀) rồi rút đi ra Tóm lại. Nếu thỏa mãn: $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)=f(x_{0})$ thì tớ Tóm lại hàm số liên tiếp bên trên $\underset{x\rightarrow x_{0}^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}f(x)=f(x_{0})$

Nếu $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)\neq f(x_{0})$ tớ Tóm lại hàm số ko liên tiếp bên trên $x_{0}$.

• Bước 4: Kết luận theo dõi đòi hỏi của đề bài xích.

Các em nằm trong VUIHOC xét 2 ví dụ tại đây nhằm hiểu rộng lớn về dạng bài xích tập dượt này nhé!

Ví dụ 1: Dùng khái niệm, xét tính liên tiếp của f(x) = x³ + 2x - 1 bên trên x₀ = 3.

Giải:

Ta có:  $f(x)=x^{3}+2x-1 \Rightarrow f(3)=3.3+2.3-1=32$
$\underset{x\rightarrow 3}{lim}(x^{3}+2x-1)=\underset{x\rightarrow 3}{lim}x^{3}+2.\underset{x\rightarrow 3}{lim}x-1=3^{3}+2.3-1=32$

$\Rightarrow \underset{x\rightarrow 3}{lim}f(x)=f(3)$

Vậy, f(x) liên tiếp bên trên điểm x₀ = 3

Ví dụ 2: Xét tính liên tiếp của hàm số nó = g(x) bên trên x0=2, biết:
$g(x)\left\{\begin{matrix}
\frac{x^{3}-8}{x-2},x\neq 2\\
5,x=2
\end{matrix}\right.$

Giải:

Ta với g(2)=5

$\underset{x\rightarrow 2}{lim}g(x)=\underset{x\rightarrow 2}{lim}\frac{x^{3}-8}{x-2}=\underset{x\rightarrow 2}{lim}\frac{(x-2)(x^{2}+2x+4)}{x-2}=\underset{x\rightarrow 2}{lim}(x^{2}+2x+4)=12$

$\Rightarrow \underset{x\rightarrow 2}{lim}f(x)\neq g(2)$

Vậy, g(x) ko liên tiếp bên trên điểm x₀ = 2

1.4. Dạng 4: Tìm ĐK nhằm hàm số liên tiếp bên trên một điểm

Theo lý thuyết và đã được học tập, hàm số nó = f(x) liên tiếp bên trên điểm $\Leftrightarrow \underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}=f(x_{0})$

Dựa theo dõi khái niệm, nhằm mò mẫm ĐK thỏa mãn nhu cầu hàm số liên tiếp bên trên một điểm, tất cả chúng ta cần thiết tuân theo quá trình sau đây:

• Bước 1: Xác tấp tểnh coi hàm số đề bài xích với xác lập bên trên điểm x₀ đang được mang lại hay là không. Tính f(x₀).

• Bước 2: Tính số lượng giới hạn của hàm số bên trên điểm x = 1

• Bước 3: Hàm số f(x) liên tiếp bên trên điểm x₀, suy đi ra $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}=f(x_{0})$

• Bước 4: Kết luận độ quý hiếm của m.

Cùng xét ví dụ minh họa tại đây nhằm hiểu rộng lớn về dạng bài xích tập dượt này nhé!

Ví dụ 1: Tìm thông số m nhằm hàm số liên tiếp bên trên điểm x=1:

$f(x)\left\{\begin{matrix}
\frac{2-7x+5x^{2}}{x^{2-3x+2}} và Lúc \, x \neq 1\\ 
-3mx-1 và Lúc \, x = 1
\end{matrix}\right.$

Giải: 

Ta thấy hàm số đang được xác lập bên trên x = 1, f(1) = -3m.1-1.

Tính số lượng giới hạn của hàm số bên trên điểm x = 1:

$\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{2-7x+5x^{2}}{x^{2}-3x+2}=\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{(x-1)(5x-2)}{(x-1)(x-2)}=\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{5x-2}{x-2}=-3$

Ta với, hàm số f(x) liên tiếp bên trên x0=1 khi: 

$\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=f(1)\Leftrightarrow -3m-1=3\Leftrightarrow m=\frac{-2}{3}$

Kết luận: m = -3

Ví dụ 2: 

Giải:

Hàm số đang được mang lại liên tiếp bên trên điểm x = 1, suy đi ra $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x) = f(1) = m$

$\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{2x^{3}+ax^{2}-4x+b}{(x-1)^{2}}=\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{2x(x-1)^{2}+(a+4)x^{2}-6x+b}{(x-1)^{2}}=\underset{x\rightarrow 1}{lim}[2x+\frac{(a+4)x^{2}-6x+b}{(x-1)^{2}}]$

=$2+\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{(a+4)x^{2}-6x+b}{(x-1)^{2}}$

Vì $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)$ với tồn bên trên nên $\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{(a+4)x^{2}-6x+b}{(x-1)^{2}}$ tồn bên trên (a + 4)x² - 6x + b = 0, nhận x = một là nghiệm kép.

Do vậy, phối kết hợp $x_{0}=\frac{6}{2(a+4)}=1$ và $\Delta=9-(a+4)b=0$ tớ được a = -1; b = 3

Suy ra: $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=2+3=5\Rightarrow m=5$

Vậy, đáp án nên cần chọn là B.

1.5. Dạng 5: Tìm ĐK nhằm hàm số liên tiếp bên trên một khoảng chừng, đoạn hoặc tập dượt xác định

Để giải dạng bài xích tập dượt xét tính liên tục của hàm số bên trên khoảng chừng đoạn hoặc tập dượt xác lập, tớ cần dùng ĐK nhằm hàm số liên tiếp kết phù hợp với ĐK nhằm phương trình với nghiệm.

• Điều khiếu nại nhằm hàm số liên tiếp bên trên x₀: $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)=f(x_{0})$

• Điều khiếu nại nhằm hàm số liên tiếp bên trên tập dượt D này là f(x) cần liên tiếp bên trên từng điểm nằm trong D.

• Phương trình f(x) = 0 với tối thiểu một nghiệm bên trên tập dượt D Lúc hàm số nó = f(x) liên tiếp bên trên D, với nhị số a,b nằm trong D sao mang lại f(a).f(b) < 0.

• Phương trình f(x)= 0 với k nghiệm bên trên tập dượt D Lúc hàm số f(x) liên tiếp bên trên D và tồn bên trên k tách nhau (a_i;a_i+1) (i=1,2,...,k) trực thuộc tập dượt D thỏa mãn nhu cầu f_(ai).f_(ai+1) < 0.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Xác tấp tểnh a nhằm hàm số tại đây liên tiếp bên trên tập dượt R

$f(x)\left\{\begin{matrix}
\frac{a^{2}(x-2)}{\sqrt{x+2}-2} và Lúc \, x <2\\ 
(1-a)x và Lúc \, x\geq 2
\end{matrix}\right.$

Giải:

Hàm số f(x) xác lập bên trên R

• x < 2 thì hàm số liên tục

• x > 2 thì hàm số liên tục

• x = 2, tớ có:

$\underset{x\rightarrow 2^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 2^{+}}{lim}(1-a)x=(1-a)2=f(2)$

$\underset{x\rightarrow 2^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 2^{+}}{lim}\frac{a^{2}(x-2)}{\sqrt{x+2}-2}=\underset{x\rightarrow 2^{-}}{lim}a^{2}(\sqrt{x+2}+2)=4a^{2}$

Như vậy, hàm số liên tiếp bên trên R $\Rightarrow$ Hàm số liên tiếp bên trên x = 2.

$\Leftrightarrow \underset{x\rightarrow 2^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 2^{-}}{lim}f(x)$

$\Leftrightarrow 4a^{2} =(1-a)2$

$\Leftrightarrow a=-1, a=0.5$

Vậy a nhận 2 độ quý hiếm là a = -1, a = 0.5

Ví dụ 2: Tìm độ quý hiếm m nhằm hàm số tại đây liên tiếp bên trên tập dượt R:

$f(x)\left\{\begin{matrix}
\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} và Lúc \, x >0\\ 
2x^{2}+3m+1 và Lúc \, x\leq 0
\end{matrix}\right.$

Giải: 

Với x < 0: hàm số liên tục

Với x > 0: hàm số liên tục

Với x = 0, tớ có:

$\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}(x)=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}\frac{x+1-1}{x(\sqrt{x+1}+1)}=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}\frac{1}{(\sqrt{x+1}+1)}=\frac{1}{2}$

$\underset{x\rightarrow 0^{-}}{lim}f(x)=x0-(2x2+3m+1)=3m+1=f(0)$

Vậy, hàm số bên trên liên tiếp bên trên R => hàm số f(x) liên tiếp bên trên x = 0

$\Leftrightarrow \underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 0^{-}}{lim}f(x)$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}=3m+1$

$\Leftrightarrow m=\frac{-1}{6}$

Kết luận: Giá trị m cần thiết mò mẫm là $m=\frac{-1}{6}$

1.6. Dạng 6: Ứng dụng hàm số liên tiếp nhằm minh chứng phương trình với nghiệm

Để minh chứng được phương trình với nghiệm vận dụng tính liên tiếp của hàm số, tớ cần thiết tổ chức theo dõi quá trình sau đây:

• Bước 1: Biến thay đổi phương trình đề bài xích mang lại trở nên dạng f(x) = 0

• Bước 2: Tìm độ quý hiếm 2 số a và b (a < b) thỏa mãn nhu cầu ĐK f(a).f(b) < 0

• Bước 3: Chứng minh nhằm hàm số f(x) liên tiếp bên trên [a;b]. Từ bại liệt tớ suy đi ra được phương trình f(x) = 0 với tối thiểu 1 nghiệm nằm trong đoạn (a;b).

Ta nằm trong xét những ví dụ sau nhằm hiểu rộng lớn về phong thái phần mềm hàm số liên tiếp minh chứng phương trình với nghiệm.

Ví dụ 1: Chứng minh phương trình 4x³ - 8x² + 1= 0 với nghiệm nằm trong (-1;2)

Giải:

Ta có:

f(x) = 4x³ - 8x² + 1 liên tiếp bên trên tập dượt R.

$\Rightarrow f(-1)=-11, f(2)=1\Rightarrow (-1).f(2)<0$

Theo đặc điểm hàm số liên tiếp, phương trình đề bài xích với tối thiểu 1 nghiệm nằm trong (-1;2).

Ví dụ 2: Chứng minh 4x⁴ + 2x² - x - 3 = 0 với tối thiểu 2 nghiệm trong vòng (-1;1)

Giải:

Xét f(x) = 4x⁴ + 2x² - x - 3 suy đi ra f(x) liên tiếp bên trên R.

Ta có:

f(-1) = 4 + 2 + 1 - 3 = 4

f(0) = -3

f(1) = 2

Do f(-1).f(0) < 0 nên phương trình với nghiệm vô (-1;0)

Do f(1).f(0) < 0 nên phương trình với nghiệm vô (0;1)

Vì 2 khoảng chừng (-1;0) và (0;1) ko uỷ thác nhau, nên phương trình đề bài xích với tối thiểu 2 nghiệm nằm trong khoảng chừng (-1;1).

2. Bài tập dượt áp dụng về tính chất liên tiếp của hàm số

Dưới đấy là 10 bài xích tập dượt trắc nghiệm áp dụng tính liên tiếp của hàm số dành riêng cho những em học viên rèn luyện hằng ngày. Cùng lưu về tìm hiểu thêm nhé!

Bài 1: Cho hàm số:

$f(x)\left\{\begin{matrix}
a^{2}x^{2} , x\leq \sqrt{2},a\epsilon R\\
(2-a)x^{2},x> \sqrt{2}
\end{matrix}\right.$

Giá trị của a nhằm f(x) liên tiếp bên trên R là:

A. 1 và 2    B. 1 và -1    C. -1 và 2    D. 1 và -2

Giải chi tiết:

Bài 2: Cho hàm số

Đáp án: B

Bài 3: Cho hàm số:

Giải chi tiết:

Hàm số liên tiếp bên trên x khi: $\underset{x\rightarrow 0}{lim}f(x)=f(0) \Leftrightarrow a+2=1\Leftrightarrow a=-1$

Chọn đáp án B.

Bài 4: Cho hàm số:

Giải chi tiết:

Bài 5: Cho hàm số:

Giải chi tiết: 

Chọn đáp án B vì như thế x = 2 ko nằm trong với tập dượt xác lập của f(x).

Bài 6: Khẳng tấp tểnh này chính trong số xác định bên dưới đây:

Đáp án A.

Bài 7: Khẳng tấp tểnh này bên dưới đấy là xác định đúng?

Đáp án: B

Bài 8: Cho hàm số:

Đáp án B.

Bài 9: Cho hàm số:

Giải chi tiết:

Bài 10: Cho hàm số:

Giải chi tiết:

Đăng ký tức thì nhằm nhận đầy đủ cỗ kỹ năng và những dạng bài xích tương quan cho tới tính liên tiếp của hàm số

Trên đấy là toàn cỗ 6 phương pháp xét tính liên tục của hàm số thuộc chương trìnhToán 11 với kèm cặp ví dụ minh họa và cỗ bài xích tập dượt rèn luyện hằng ngày. Hy vọng rằng sau nội dung bài viết này, những em học viên tiếp tục học tập thêm thắt được những tài năng nhằm xử lý dạng toán này đơn giản và dễ dàng rộng lớn. Hãy truy vấn trang web dạy dỗ Vuihoc.vn hoặc trung tâm tương hỗ nhằm học tập thêm thắt nhiều kỹ năng toán trung học phổ thông nhằm mục tiêu sẵn sàng hành trang mang lại kỳ thi đua trung học phổ thông Quốc gia tiếp đây nhé!

     Tham khảo thêm:

⭐Bộ Sách Thần Tốc Luyện Đề Toán - Lý - Hóa THPT Có Giải Chi Tiết