sin^4x+cos^4x - Công thức lượng giác

Tài liệu công thức lượng giác thể hiện cách thức và những ví dụ rõ ràng, chung chúng ta học viên trung học phổ thông ôn luyện và gia tăng kỹ năng và kiến thức về dạng toán chuyển đổi công thức lượng giác Toán trung học phổ thông. Tài liệu bao hàm công thức lượng giác, những bài bác luyện ví dụ minh họa với tiếng giải và bài bác luyện tập luyện chung chúng ta khái quát nhiều loại bài bác chuyên mục phương trình lượng giác lớp 10. Chúc chúng ta học hành hiệu quả!

A. Công thức sin⁴x + cos⁴x

Biến thay đổi công thức: sin⁴x + cos⁴x

Hướng dẫn giải

Sin⁴x + cos⁴x

= (sin²x)² + (cos²x)²

= sin²x + 2sin²x . cos²x + cos²x − 2sin²x . cos²x

= (sin²x + 2sin²x . cos²x + cos²x) - 2sin²x . cos²x

= (sin²x + cos²x)²- 2sin²x . cos²x

= 1 - 2sin²x . cos²x

= $1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x$

= $1 - \frac{1}{4}\left( {1 - \cos 4x} \right)$

= $\frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x$

B. Biến thay đổi sin⁴x, cos⁴x

Ví dụ 1: Chứng minh độ quý hiếm của biểu thức A = cos⁴x . (2cos²x – 3) + sin⁴x . (2sin²x – 3) ko tùy theo x.

Hướng dẫn giải

Ta có:

A = cos⁴x . (2cos²x – 3) + sin⁴x . (2sin²x – 3)

A = 2cos⁶x - 3cos⁴x + 2sin⁶x - 3sin⁴x

A = 2 . (cos⁶x + sin⁶x) – 3 . (sin⁴x + cos⁴x)

Ta có: sin⁶x + cos⁶x = 1 - 3sin²x . cos²x

sin⁴x + cos⁴x = 1 – 2sin²x . cos²x

=> A = 2(cos⁶x + sin⁶x) – 3(sin⁴x + cos⁴x)

A = 2(1 - 3sin²x . cos²x) – 3(1 – 2sin²x . cos²x)

A = 2 - 6sin²x . cos²x – 3 + 6sin²x . cos²x

A = - 1

Vậy biểu thức A = cos⁴x (2cos²x – 3) + sin⁴x (2sin²x – 3) ko tùy theo x

Ví dụ 2: Chứng minh hệ thức A song lập với x

$A = \sqrt {{{\sin }^4}x + 4{{\cos }^2}x} + \sqrt {{{\cos }^4}x + 4{{\sin }^2}x}$

Hướng dẫn giải

$A = \sqrt {{{\sin }^4}x + 4{{\cos }^2}x} + \sqrt {{{\cos }^4}x + 4{{\sin }^2}x}$

$= \sqrt {{{\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)}^2} + 4{{\cos }^2}x} + \sqrt {{{\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)}^2} + 4{{\sin }^2}x}$

$= \sqrt {1 - 2{{\cos }^2}x + {{\cos }^4}x + 4{{\cos }^2}x} + \sqrt {1 - 2{{\sin }^2}x + {{\sin }^4}x + 4{{\sin }^2}x}$

$= \sqrt {1 + 2{{\cos }^2}x + {{\cos }^4}x} + \sqrt {1 + 2{{\sin }^2}x + {{\sin }^2}x}$

$= \sqrt {{{\left( {1 + {{\cos }^2}x} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {1 + {{\sin }^2}x} \right)}^2}}$

= |1 + cos²x| + |1 + sin²x|

= 1 + cos²x + 1 + sin²x

= 2 + cos²x + sin²x

= 2 + 1 = 3

Ví dụ 3: Chứng minh biểu thức:

sin⁴x + cos⁴x – sin⁶x – cos⁶ = sin²x . cos²x

Hướng dẫn giải

Biến thay đổi vế trái ngược tao có:

sin⁴x + cos⁴x – sin⁶x – cos⁶x

= sin⁴x (1 – sin²x) + cos⁴x . (1 – cos²x)

= sin⁴x . cos²x + cos⁴x . sin²x

= sin²x . cos²x . (sin²x + cos²x)

= sin²x . cos²x = VP

=> Điều cần bệnh minh

C. Giải phương trình lượng giác sin⁴x; cos⁴x

Ví dụ 1: Giải phương trình:

sin x + sin²x + sin³x + sin⁴x = cos x + cos²x + cos³x + cos⁴x

Hướng dẫn giải chi tiết

Ta có:

sin³x – cos³x = (sinx – cosx) . (sin²x + cos²x + sinx . cosx)

sin⁴x – cos⁴x = (sin²x – cos²x) . (sin²x + cos²x) = - cos2x

Ta chuyển đổi phương trình như sau:

sin x + sin²x + sin³x + sin⁴x = cos x + cos²x + cos³x + cos⁴x

=> sin x – cos x + sin²x – cos²x + sin³x – cos³x + sin⁴x – cos⁴x = 0

=> sin x – cos x – cos 2x + (sin x – cos x) . (sin²x + cos²x + sin x . cos x) - cos 2x = 0

=> sin x – cos x – 2cos 2x + (sin x – cos x).(1 + sin x . cos x) = 0

=> (sin x – cos x) . [1 + 2(sin x + cos x) + 1 + sin x . cos x] = 0

=> sin x – cos x = 0 hoặc 1 + 2(sin x + cos x) + 1 + sin x . cos x = 0

Trường ăn ý 1:

sin x – cos x = 0

Giải phương trình tao được $x = \frac{\pi }{4} + k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Trường ăn ý 2:

1 + 2(sin x + cos x) + 1 + sin x .cos x = 0 (*)

Đặt sin x + cos x = t (điều khiếu nại $\left| t \right| \leqslant \sqrt 2$ )

=> sin x . cos x = $\frac{{{t^2} - 1}}{2}$

Biến thay đổi phương trình (*) tao được:

$2t + \frac{{{t^2} - 1}}{2} + 2 = 0 \Rightarrow {t^2} + 4t + 3 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = - 1} \\ {t = - 3\left( L \right)} \end{array}} \right.$

=> sin x + cos x = -1

=> $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{{ - \pi }}{2} + k2\pi } \\ {x = \pi + k2\pi } \end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$

Vậy phương trình với tía chúng ta nghiệm.

Ví dụ 2: Giải phương trình:

sin⁴x + cos⁴x + sinx . cosx = 0

Hướng dẫn giải chi tiết

Ta có:

Sin x . cos x = một nửa.sin 2x

sin⁴x + cos⁴x = 1 - 2sin²x . cos²x = 1 – một nửa . sin²2x

Thay nhập phương trình tao có:

1 – một nửa . sin²2x + một nửa . sin 2x= 0

=> 2 – sin²2x + sin 2x = 0

=> sin 2x = 2 (loại) hoặc sin 2x = -1 (thỏa mãn)

Với sin 2x = -1

$\Rightarrow 2x= \frac{{ - \pi }}{2} + k2\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\Rightarrow x =\frac{{ - \pi }}{4} + k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Kết luận phương trình với 1 chúng ta nghiệm.

Ví dụ 3: Giải phương trình lượng giác

cos⁴x - sin⁴x + cos 4x = 0

Hướng dẫn giải

cos⁴x - sin⁴x + cos 4x = 0

=> (cos²x – sin²x)(cos²x + sin²x) + cos 4x = 0

=> cos 2x + cos 4x = 0

=> cos 2x = - cos 4x

=> $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi } \\ {x = \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{3}} \end{array}} \right.;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

sin^4x+cos^4x - Công thức lượng giác

A. Công thức sin⁴x + cos⁴x

Biến thay đổi công thức: sin⁴x + cos⁴x

B. Biến thay đổi sin⁴x, cos⁴x

C. Giải phương trình lượng giác sin⁴x; cos⁴x

D. Công thức hạ bậc

1. Công thức hạ bậc bậc hai

2. Công thức hạ bậc bậc ba

3. Công thức hạ bậc bậc bốn

4. Công thức hạ bậc bậc 5

E. Công thức Sin⁶x + cos⁶x

sin^4x+cos^4x - Công thức lượng giác

A. Công thức sin4x + cos4x

Biến thay đổi công thức: sin4x + cos4x

B. Biến thay đổi sin4x, cos4x

C. Giải phương trình lượng giác sin4x; cos4x

D. Công thức hạ bậc

1. Công thức hạ bậc bậc hai

2. Công thức hạ bậc bậc ba

3. Công thức hạ bậc bậc bốn

4. Công thức hạ bậc bậc 5

E. Công thức Sin6x + cos6x

A. Công thức sin⁴x + cos⁴x

Biến thay đổi công thức: sin⁴x + cos⁴x

B. Biến thay đổi sin⁴x, cos⁴x

C. Giải phương trình lượng giác sin⁴x; cos⁴x

E. Công thức Sin⁶x + cos⁶x