Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD, lòng ABCD là hình bình hành với O là uỷ thác điểm của AC và BD, AC = 6, BD = 8; tam giác SBD là tam giác đều. Gọi I là vấn đề phía trên đoạn trực tiếp AC sao cho tới AI = x (0 < x < 3), (P) là mặt mũi phẳng lặng trải qua điểm I và tuy vậy song với mặt mũi phẳng lặng (SBD). Diện tích của hình tạo nên vì chưng những đoạn uỷ thác tuyến của mặt mũi phẳng lặng (P) với những mặt mũi của hình chóp S.ABCD bằng \(\frac{{a{x^2}\sqrt 3 }}{b}\). Tính độ quý hiếm của biểu thức Phường = a + b.
Đáp án
Phương pháp giải
Sử dụng đặc thù uỷ thác tuyến, hệ trái khoáy toan lí Thales, công thức tính diện tích S tam giác đều lúc biết chừng nhiều năm cạnh.
Vì (P)//(SBD) suy rời khỏi BD//(P) và SB//(P).
Ta với \(\left\{ \begin{array}{l}I \in (P) \cap (ABCD)\\BD \subset (ABCD)\\BD//(P)\end{array} \right.\) suy rời khỏi uỷ thác tuyến của (P) và (ABCD) là đường thẳng liền mạch qua chuyện I tuy vậy song với BD. Giao tuyến này rời AB bên trên M, rời AD bên trên N.
Tương tự động \(\left\{ \begin{array}{l}M \in (P) \cap (SAB)\\SB \subset (SAB)\\SB//(P)\end{array} \right.\) suy rời khỏi uỷ thác tuyến của (P) và (SAB) là đường thẳng liền mạch qua chuyện M tuy vậy song với SB.
Giao tuyến này rời SA bên trên K.
Thiết diện cần thiết lần là tam giác MNK.
Hai tam giác KMN và SBD với những cặp cạnh ứng tuy vậy song nên bọn chúng đồng dạng. Mà tam giác SBD đều nên tam giác KMN đều.
Xét tam giác AOD với IN//DO: \(\frac{{AI}}{{AO}} = \frac{{IN}}{{DO}}\) (hệ trái khoáy toan lí Thales).
Xét tam giác AOB với IM//BO: \(\frac{{AI}}{{AO}} = \frac{{IM}}{{BO}}\) (hệ trái khoáy toan lí Thales).
Suy rời khỏi \(\frac{{IN}}{{DO}} = \frac{{IM}}{{BO}}\). Do cơ \(\frac{{AI}}{{AO}} = \frac{{IN + IM}}{{DO + BO}}\) hoặc \(\frac{{AI}}{{AO}} = \frac{{MN}}{{BD}} \Leftrightarrow \frac{x}{{\frac{{AC}}{2}}} = \frac{{MN}}{{BD}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{x}{3} = \frac{{MN}}{8} \Leftrightarrow MN = \frac{{8x}}{3}\).
Diện tích tam giác đều KMN là \(S = \frac{{M{N^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{{\left( {\frac{{8x}}{3}} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{16{x^2}\sqrt 3 }}{9}\).
Suy rời khỏi a = 16, b = 9.
Vậy Phường = a + b = 16 + 9 = 25.
Các bài bác luyện nằm trong chuyên nghiệp đề
Bài 1 :Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, N, Phường theo lần lượt là trung điểm của những cạnh AA’, BB’, CC’. Chứng minh rằng mặt mũi phẳng lặng (MNP) tuy vậy song với mặt mũi phẳng lặng (ABC). Xem điều giải >> Bài 2 :Trong mặt mũi phẳng lặng (P) cho tới hình bình hành ABCD. Qua A, B, C, D theo lần lượt vẽ tứ đường thẳng liền mạch a, b, c, d song một tuy vậy song cùng nhau và ko ở trong mặt mũi phẳng lặng (P). Một mặt mũi phẳng lặng rời a, b, c, d theo lần lượt bên trên tứ điểm A’, B’, C’, D’. Chứng minh rằng A’B’C’D’ là hình bình hành. Xem điều giải >> Bài 3 :Trong mặt mũi phẳng lặng \(\left( Phường \right)\) cho tới hình bình hành \(ABCD\). Ta dựng những nửa đường thẳng liền mạch tuy vậy song cùng nhau và ở về một phía so với \(\left( Phường \right)\) theo lần lượt trải qua những điểm \(A,B,C,D\). Một mặt mũi phẳng lặng \(\left( Q \right)\) rời tứ nửa đường thẳng liền mạch trình bày bên trên trên \(A',B',C',D'\). Chứng minh rằng: \(AA' + CC' = BB' + DD'\). Xem điều giải >> Bài 4 :Cho hình chóp \(S.ABCD\), lòng \(ABCD\) là hình bình hành với \(O\) là uỷ thác điểm của hai tuyến phố chéo cánh. Gọi \(M,N\) theo lần lượt là trung điểm của \(SA,SD\). a) Chứng minh rằng \(\left( {OMN} \right)\parallel \left( {SBC} \right)\). b) Gọi \(E\) là trung điểm của \(AB\) và \(F\) là 1 điểm nằm trong \(ON\). Chứng minh \(EF\) tuy vậy song với \(\left( {SBC} \right)\). Xem điều giải >> Bài 5 :Cho nhì hình vuông vắn \(ABCD\) và \(ABEF\) ở nhập nhì mặt mũi phẳng lặng không giống nhau. Trên những lối chéo cánh \(AC\) và \(BF\) theo lần lượt lấy những điểm \(M,N\) sao cho tới \(AM = BN\). Các đường thẳng liền mạch tuy vậy song với \(AB\) vẽ kể từ \(M,N\) theo lần lượt rời \(AD,AF\) bên trên \(M',N'\). a) Chứng minh \(\left( {CBE} \right)\parallel \left( {ADF} \right)\). b) Chứng minh \(\left( {DEF} \right)\parallel \left( {MNN'M'} \right)\). Xem điều giải >> Bài 6 :Cho hình vỏ hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \({G_1}\) và \({G_2}\) theo lần lượt là trọng tâm của nhì tam giác \(BDA'\) và \(B'D'C\). Chứng minh \({G_1}\) và \({G_2}\) phân chia đoạn \(AC\) trở thành thân phụ phần đều nhau. Xem điều giải >> Bài 7 :Để thực hiện một sườn lồng đèn kéo quân hình lăng trụ lục giác\(ABCDEF.A'B'C'D'E'F'\), Bình gắn nhì thanh tre \({A_1}{D_1},{F_1}{C_1}\) tuy vậy song với mặt mũi phẳng lặng lòng và rời nhau bên trên \({O_1}\) (Hình 19). a) Xác toan uỷ thác tuyến của \(mp\left( {{A_1}{D_1},{F_1}{C_1}} \right)\) với những mặt mũi mặt của lăng trụ. b) Cho biết \(A'{A_1} = 6A{A_1}\) và \(AA' = 70{\rm{ }}cm\). Tính \(C{C_1}\) và \({C_1}C'\). Xem điều giải >> Bài 8 :Trong những mệnh đề sau, mệnh đề này sai? Xem điều giải >> Bài 9 :Trong mặt mũi phẳng lặng \(\left( Phường \right)\) cho tới tam giác \(ABC\). Qua \(A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C\) theo lần lượt vẽ những tia \(Ax,{\rm{ }}By,{\rm{ }}Cz\) song một tuy vậy song cùng nhau và ko ở trong mặt mũi phẳng lặng \(\left( Phường \right)\). Trên những tia \(Ax,{\rm{ }}By,{\rm{ }}Cz\) theo lần lượt lấy những điểm \(A',{\rm{ }}B',{\rm{ }}C'\) sao cho tới \(AA' = BB' = CC'\). Chứng minh rằng \(\left( {ABC} \right)\parallel \left( {A'B'C'} \right)\). Xem điều giải >> Bài 10 :Cho hình chóp \(S.ABCD\) với đáy\(ABCD\) là hình thang với lòng rộng lớn \(AD\). Gọi \(M\) là trọng tâm của tam giác \(SAD\), \(N\) là vấn đề nằm trong đoạn trực tiếp \(AC\) sao cho tới \(AN = \frac{1}{3}AC\), \(P\) là vấn đề nằm trong đoạn trực tiếp \(CD\) sao cho tới \(DP = \frac{1}{3}DC\). Chứng bản thân rằng \(\left( {MNP} \right)\parallel \left( {SBC} \right)\). Xem điều giải >> Bài 11 :Cho nhì hình bình hành \(ABCD\) và \(ABEF\) ko nằm trong ở trong một phía phẳng lặng. Trên những lối chéo cánh \(AC\), \(BF\) theo lần lượt lấy những điểm \(M\), \(N\) sao cho tới \(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{BN}}{{BF}}\). Qua \(M\) vẽ đường thẳng liền mạch tuy vậy song với \(AB\) rời \(AD\) bên trên \(M'\), qua chuyện \(N\) vẽ đường thẳng liền mạch tuy vậy song với \(AB\) rời \(AF\) bên trên \(N'\). a) Chứng minh rằng \(\left( {MNN'} \right)\parallel \left( {CDE} \right)\). b) Gọi \(\left( Phường \right)\) là mặt mũi phẳng lặng trải qua \(M\) và tuy vậy song với mặt mũi phẳng lặng \(\left( {AFD} \right)\). Mặt phẳng lặng \(\left( Phường \right)\) rời đường thẳng liền mạch \(EF\) bên trên \(I\). Tính \(\frac{{FI}}{{FE}}\), biết \(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{1}{3}\). Xem điều giải >> Bài 12 :Cho mặt mũi phẳng lặng (P) và điểm A ở bề ngoài phẳng lặng (P). Khẳng toan này sau đó là đúng? A. Qua A với vô số mặt mũi phẳng lặng tuy vậy song với (P) B. Qua A với trúng một phía phẳng lặng tuy vậy song với (P) C. Qua A ko xuất hiện phẳng lặng tuy vậy song với (P) D. Qua A với trúng nhì mặt mũi phẳng lặng tuy vậy song với (P) Xem điều giải >> Bài 13 :Cho hình vỏ hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N, Phường, Q theo lần lượt là trung điểm của những cạnh AA’, BB’, CC’, DD’. Chứng minh rằng tứ điểm M, N, Phường, Q đồng phẳng lặng và MNPQ là hình bình hành. Xem điều giải >> Bài 14 :Cho hình vỏ hộp ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh: a) (BDA’)//(B’D’C). b) Đường chéo cánh AC’ trải qua trọng tâm G và G’ của nhì tam giác BDA’ và B’D’C. c) G và G’ phân chia AC’ trở thành thân phụ phần đều nhau. Xem điều giải >> Bài 15 :Cho đường thẳng liền mạch a ở trong mặt mũi phẳng lặng \(\left( \alpha \right)\) và đường thẳng liền mạch b ở trong mặt mũi phẳng lặng \(\left( \beta \right)\). tường \(\left( \alpha \right)//\left( \beta \right)\). Trong những xác định sau, xác định này sai? A. a//\(\left( \beta \right)\). B. b//\(\left( \alpha \right)\). C. a//b. D. Nếu với một phía phẳng lặng \(\left( \gamma \right)\) chứa chấp a và b thì a//b. Xem điều giải >> Bài 16 : Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\). Gọi \(M,\,N\) theo lần lượt là trung điểm của \(A'B'\) và \(AB\). a) Chứng minh \(CB'\,\,{\rm{//}}\,\left( {AMC'} \right)\). b) Mặt phẳng lặng \(\left( Phường \right)\) trải qua \(N\) tuy vậy song với nhì cạnh \(AB'\) và \(AC'\). Tìm uỷ thác tuyến của nhì mặt mũi phẳng lặng \(\left( Phường \right)\) và \(\left( {BB'C'} \right)\). Xem điều giải >>