Công thức, cách tính góc giữa hai vecto (cực hay, chi tiết).

Bài ghi chép Công thức, phương pháp tính góc thân ái nhị vecto với cách thức giải cụ thể hùn học viên ôn luyện, biết phương pháp thực hiện bài xích luyện Công thức, phương pháp tính góc thân ái nhị vecto.

Công thức, phương pháp tính góc thân ái nhị vecto (cực hoặc, chi tiết)

A. Phương pháp giải

Phương pháp 1: Sử dụng khái niệm góc thân ái nhị vectơ

Định nghĩa góc thân ái nhị vectơ: Cho nhị vectơ đều không giống vectơ-không. Từ một điểm O ngẫu nhiên, tớ vẽ những vectơ . Khi cơ số đo của góc AOB, được gọi là số đo góc thân ái nhị vectơ , hoặc giản dị là góc thân ái nhị vectơ .

Phương pháp 2: (Áp dụng nhập hệ tọa độ) Tính cos góc thân ái nhị vectơ, kể từ cơ suy rời khỏi góc thân ái 2 vectơ.

Sử dụng công thức sau:

Cho nhị vectơ . Khi đó

Chú ý: Góc thân ái nhị vectơ nằm trong [0°;180°]

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông cân nặng bên trên A. Tính góc thân ái nhị vectơ:

Hướng dẫn giải:

- Nhớ lại định nghĩa nhị vectơ đều bằng nhau ở chương 1: Hai vectơ đều bằng nhau Khi bọn chúng nằm trong phía và nằm trong chừng lâu năm.

- Trên tia đối của tia CB lấy D sao cho tới CB = CD.

Ví dụ 2: Cho những vectơ Tính góc thân ái nhị vectơ .

Hướng dẫn giải:

Vậy góc thân ái nhị vectơ là góc α ∈ [0°;180°] thỏa mãn nhu cầu .

Ví dụ 3: Trong mặt mũi bằng phẳng tọa chừng Oxy, cho tới nhị vectơ . Tính góc thân ái nhị vectơ .

A. 45°

B. 60°

C. 90°

D. 30°

Hướng dẫn giải:

Đáp án A

Ví dụ 4: Cho nhị vectơ có tính lâu năm vì như thế 1 và thỏa mãn nhu cầu ĐK . Tính góc thân ái nhị vectơ .

A. 60°

B. 30°

C. 120°

D. 150°

Hướng dẫn giải:

Vì (bình phương vô phía vì như thế bình phương chừng dài)

Đáp án C

Ví dụ 5: Cho những vectơ thỏa mãn nhu cầu . Góc thân ái vectơ và vectơ là

A. 30°

B. 60°

C. 90°

D. 120°

Hướng dẫn giải:

Đáp án A

C. Bài luyện tự động luyện

Bài 1. Tính góc thân ái vecto a và vectơ c, biết vectơ $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ và cho tới các vectơ a và b thoả mãn |a| = 4, |b| = 2.

Hướng dẫn giải

Ta có: c = a – b

Nên c² = (a – b)² = a² – 2ab + b² = |a|² – 2|a| . |b| . cos(a,b) + |b|²

Suy rời khỏi c² = 4² – 2.4.1.cos60^o + 2² = 3 hoặc |c| = $\sqrt{3}$.

Ta lại có: a . c = a . (a – b) = a² – a . b hay a . c =3 

Do đó a . c = |a| . |c| . cos (a, c)

Hay 3 = 2.$\sqrt{3}$. cos(a, c)

Do cơ, cos(a, c) = $\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Vậy góc giữa 2 vectơ bằng 30^o.

Bài 2. Tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC song một vuông góc và đều có độ dài là 1. Gọi M là trung điểm của canh AB. Tính góc giữa nhị vectơ $\overrightarrow{OM},\overrightarrow{BC}$.

Hướng dẫn giải

Lấy N là trung điểm của AC suy rời khỏi MN // BC.

Ta có: $\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{BC}\right)=\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{MN}\right)=180°-\widehat{OMN}$

Xét tam giác OMN có OM = ON = $\frac{1}{\sqrt{2}}$; MN = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Suy rời khỏi $\cos \widehat{OMN}=\frac{1}{2}$ hoặc $\widehat{OMN}=60°$.

Do cơ $\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{BC}\right)=120°$.

Bài 3. Tính góc thân ái 2 vectơ a và b, hiểu được 2 vectơ a và b có độ bài bằng 1 và thoả mãn điều kiện |3a + 2b| = $\sqrt{7}$.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\left|3a+2b\right|=\sqrt{7}$ hoặc ${\left(3a\cdot 2b\right)}^2 =7$ nên 9a² + 12b + 4b = 7

Vì a² = |a|² =1; b² = |b|² =1.

Nê 4 . 1 + 12ab + 9 . 1 =  7 nên 12ab = 7 – 4 – 9  = –6 hoặc ab = $-\frac{1}{2}$.

Do đó: $cos\left(a;b\right)=\frac{a.b}{\left|a\right|.\left|b\right|}=-\frac{1}{2}$.

Vậy góc giữa 2 vectơ a và b là 120 độ.

Bài 4. Cho hình thoi ABCD với $\widehat{BAD}=120°$. Tính góc giữa nhị vectơ $\overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{AD}$.

Hướng dẫn giải

Ta có AB // DC và AB = DC (vì ABCD là hình thoi)

Suy rời khỏi $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AD}$ nên $\left(\overrightarrow{DC},\overrightarrow{AD}\right)=\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)$.

Mà $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)=\widehat{BAD}=120°$.

Do cơ $\left(\overrightarrow{DC},\overrightarrow{AD}\right)=120°$.

Bài 5. Cho tứ diện ABCD có AC = BD = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm BC, AD. Biết rằng MN = $a\sqrt{3}$. Tính góc giữa AC và BD.

Hướng dẫn giải

Gọi I là trung điểm của AB, tớ có IM = IN = a

Áp dụng định lý của Cosin cho tới tam giác IMN tớ có:

$\cos \widehat{MIN}=\frac{I{M}^2+I{N}^2-M{N}^2}{2.IM.IN}$ = $\frac{a^2+a^2-3a^2}{2.a.a}=-\frac{1}{2}$

=> $\widehat{MIN}=60°$.

Vậy góc thân ái AC và BD vì như thế 60 chừng.

Bài 6. Cho những vectơ $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j};\overrightarrow{b}=\overrightarrow{2i}+\overrightarrow{3j}$. Tính góc thân ái nhị vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$.

Bài 7. Trong mặt mũi bằng phẳng tọa chừng Oxy, cho tới nhị vectơ $\overrightarrow{a}=\left(2;5\right);\overrightarrow{b}=\left(3;7\right)$. Tính góc thân ái nhị vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$. 

Bài 8. cho nhị vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$ có tính lâu năm vì như thế 1 và thỏa mãn nhu cầu ĐK $\left|3\overrightarrow{a}+5\overrightarrow{b}=9\right|$. Tính góc thân ái nhị vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$. 

Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có lòng là hình vuông cạnh $a\sqrt{3}$, SA vuông góc với mặt phẳng đáy tại A, SA = $a\sqrt{2}$. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD.

Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đấy ABCD là hình bình hành với BC = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, Góc giữa nhị đường thẳng SD và BC nằm nhập khoảng nào?

Xem thêm thắt những dạng bài xích luyện Toán lớp 10 tinh lọc, với đáp án hoặc không giống khác:

• Cách tính chừng lâu năm vecto, khoảng cách thân ái nhị điểm nhập hệ tọa chừng (cực hoặc, chi tiết)
• Cách minh chứng Hai vecto vuông góc (cực hoặc, chi tiết)
• Tìm m nhằm góc thân ái nhị vecto vì như thế một số trong những cho tới trước cực kỳ hoặc (45 chừng, góc nhọn, góc tù)
• Cách giải bài xích luyện về Định lí Cô-sin nhập tam giác (cực hoặc, chi tiết)

Lời giải bài xích luyện lớp 10 sách mới:

• Giải bài xích luyện Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài xích luyện Lớp 10 Chân trời sáng sủa tạo
• Giải bài xích luyện Lớp 10 Cánh diều

tich-vo-huong-cua-hai-vecto-va-ung-dung.jsp