Phép Đối Xứng Tâm: Lý Thuyết, Công Thức Và Bài Tập (Có Đáp Án)

1. Định nghĩa phép đối xứng tâm

Phép đối xứng tâm được khái niệm như sau:

    Cho điểm I, phép tắc biến hóa hình biến hóa điểm I trở nên chủ yếu nó, biến hóa từng điểm M không giống I trở nên M′ sao cho tới M ′ đối xứng với M qua quýt I (hay I đó là trung điểm  thì được gọi là phép đối xứng tâm I). 

    Tâm đối xứng được kí hiệu là I

1.1 Kí hiệu 

Đ$_{I}$ là kí hiệu của phép đối xứng tâm I

 1.2. Công thức

    Từ khái niệm phép đối xứng tâm tao rất có thể suy đi ra được công thức như sau:

    M'=Đ$_{I}(M)\Rightarrow \overline{IM'} =-\overline{IM}$

1.3. Biểu biểu diễn hình ảnh qua quýt phép đối xứng tâm

    Nếu hình ℋ  sở hữu hình ℋ ’ là hình ảnh qua  Đ$_{I}$ thì tao còn thưa là ℋ ’ đối xứng với ℋ  qua quýt tâm I, hoặc ℋ  và ℋ ’ đối xứng cùng nhau qua quýt I. 

2. Tính hóa học phép đối xứng tâm

2.1.Tính hóa học 1

• Nếu Đ$_{I}$(M) = M' và Đ$_{I}$(N)=N'

        Thì M'N' = MN

              $\overline{M'N'} = \overline{-MN}$

Lưu ý: 

Nếu tía điểm M, N, Phường trực tiếp mặt hàng theo dõi trật tự thì qua quýt phép đối xứng tâm I trở thành M’, N’, P’ ứng cũng trực tiếp mặt hàng theo dõi trật tự cơ.

2.2. Tính hóa học 2

• Bảo toàn khoảng cách thân mật nhì điểm

• Chuyển một đường thẳng liền mạch trở nên đường thẳng liền mạch tuy nhiên song hoặc trùng với nó

• Chuyển một quãng trực tiếp trở nên đoạn trực tiếp vị với đoạn trực tiếp đó

• Chuyển một tam giác trở nên tam giác vị tam giác ban đầu

• Biến một lối tròn trĩnh phát triển thành một lối tròn trĩnh không giống sở hữu nằm trong phân phối kính 

Tham khảo tức thì cỗ tư liệu ôn tập luyện kiến thức và kỹ năng và tổ hợp toàn cỗ cách thức giải những dạng bài bác tập luyện xuất hiện tại vô đề thi đua trung học phổ thông Quốc gia môn Toán

3. Biểu thức tọa phỏng của phép đối xứng tâm

3.1. Biểu thức tọa phỏng của phép tắc đối xứng qua quýt gốc tọa độ

Trong mặt mũi phẳng lặng tọa phỏng Oxy cho tới M(x; y), gọi tọa điểm M’(x’; y’) là hình ảnh của M qua quýt phép đối xứng tâm O, tao có:

      Đ$_{O}$(M) = M' 

Thì x' = -x 

      y' = -y

3.2. Biểu thức tọa phỏng của phép đối xứng tâm bất kỳ

Gọi M’(x’; y’) là hình ảnh của M(x; y) vô mặt mũi phẳng lặng Oxy cho tới I(a; b), M(x; y), qua quýt phép đối xứng tâm I thì tao có:

     Đ$_{I}(M) =M'$ 

     Nên điểm I là trung điểm của MM’

     Suy ra: tọa phỏng $I (a; b) = (\frac{x  +  x'}{2}; \frac{y  +  y'}{2})$

       $\Rightarrow a =\frac{x  +  x'}{2}$ 

         $b =\frac{y  +  y'}{2})$

      $\Rightarrow 2a =x+x'$

         $2b =y+y'$

Suy ra:

4. Tâm đối xứng của một hình

Định nghĩa: điểm O được gọi là tâm đối xứng của hình ℋ nếu như phép đối xứng tâm O biến hóa ℋ trở nên chủ yếu nó.

Ví dụ vô thực tế

Tâm đối xứng của một số trong những hình phẳng

* Phương pháp thám thính tâm đối xứng của một hình 

Nếu hình vẫn cho tới là 1 trong những nhiều giác thì dùng tính chất: Một nhiều giác sở hữu tâm đối xứng O thì qua quýt phép đối xứng tâm O từng đỉnh của chính nó cần trở thành một đỉnh của nhiều giác, từng cạnh của chính nó cần trở thành một cạnh của nhiều giác tuy nhiên song và vị cạnh ấy.

Nếu hình vẫn cho tới ko cần là 1 trong những nhiều giác thì tao tiếp tục dùng khái niệm.

5. Một số dạng bài bác tập luyện về phép đối xứng tâm kể từ cơ bạn dạng cho tới nâng lên (có tiếng giải)

5.1. Dạng 1: Tìm hình ảnh của một điểm qua quýt phép đối xứng tâm

Phương pháp: vận dụng biểu thức tọa phỏng của phép đối xứng tâm

Gọi M’(x’; y’) là hình ảnh của M(x; y) qua quýt phép đối xứng tâm 

Nếu tâm đối đối xứng là gốc tọa phỏng O (0; 0)

    x’ =  − x

    y’ =  − y

Nếu tâm đối đối xứng là gốc tọa phỏng I(a; b)

    x’ = 2a − x

    y’ = 2b − y

VD1: Trong mặt mũi phẳng lặng tọa phỏng Oxy. Hình ảnh của điểm M(-2021; 2022) qua quýt phép đối xứng tâm O(0; 0) là:

a. M’(2021; 2022)

b. M’(2021; -2022)

c. M’(-2021; 2022)

d. M’(-2021; -2022)

Giải 

Qua phép đối xứng tâm O, sở hữu M’(x’, y’) là hình ảnh của M qua quýt phép đối xứng tâm O

Ta sở hữu biểu thức tọa phỏng phép đối xứng tâm O là:

    x’ = -x = 2021

    y’ = -y = -2022

M’(2021; -2022)

Chọn đáp án B

VD2: Trong mặt mũi phẳng lặng tọa phỏng Oxy. Hình ảnh của điểm M(1; -6) qua quýt phép đối xứng tâm I(-2; 5) là:

a. M’(-5; 16)

b. M’(5; -16)

c. M’(-4; 3)

d. M’(4; -3)

Giải

Qua phép đối xứng tâm I fake sử điểm M’(x’, y’) là hình ảnh của M 

Ta sở hữu biểu thức tọa phỏng phép đối xứng tâm I là:

     x’ = 2a - x

     y’ = 2b - y 

⇔ x’ = 2 . (-2) - 1

     y’ = 2 . 5 - (-6) 

⇔ x’ = -5

     y’ = 16

$\Rightarrow$ M’(-5; 16)

$\Rightarrow$ Chọn đáp án A

5.2. Dạng 2: Tìm hình ảnh của một đường thẳng liền mạch qua quýt phép đối xứng tâm

Phương pháp: nhờ vào đặc điểm phép đối xứng tâm tiếp tục biến hóa một đường thẳng liền mạch trở nên đường thẳng liền mạch tuy nhiên song hoặc trùng với nó

- Cách 1: Lấy nhì điểm bất kì nằm trong đường thẳng liền mạch cơ. 

- Cách 2: Tìm hình ảnh qua quýt phép đối xứng tâm của nhì điểm vẫn lấy kể từ bước 1.

- Cách 3: Từ nhì điểm nằm trong đường thẳng liền mạch tao tiếp tục ghi chép được phương trình đường thẳng liền mạch cần thiết thám thính.

VD1: Cho đường thẳng liền mạch d nằm trong mặt mũi phẳng lặng Oxy sở hữu phương trình: 

x + 2y + 4 = 0. Vận dụng phép đối xứng tâm O(0;0), thám thính hình ảnh của đường thẳng liền mạch d 

a. x + nó + 4 = 0

b. x + nó - 4 = 0

c. x + 2y - 4 = 0

d. 2x + 3y + 4 = 0

Giải

Ta sở hữu phương trình d là x + 2y + 4 = 0, 

Lấy 2 điểm A(0; -2), B(-4; 0)

Gọi A’, B’ thứu tự là hình ảnh qua quýt phép đối xứng tâm O của A, B. Khi cơ tao có:

     $x_{A'} =  -x_{A} = 0$

     $y_{A'} =  -y_{A} = 2$

$\Rightarrow$ A’(0, 2)

Tương tự:

     $x_{B'} =  -x_{B} = 4$

     $y_{B'} =  -y_{B} = 0$

$\Rightarrow$ B’(4, 0)

Gọi d’ là hình ảnh của d qua quýt phép đối xứng tâm O. Khi cơ, theo dõi đặc điểm của phép đối xứng tâm thì d’ tiếp tục trải qua nhì điểm A’ và B’.

Suy đi ra $\overline{A'B'}$ là vectơ chỉ phương của d’

Ta có: $\overline{A'B'} (4; -2) \Rightarrow \bar{n} (1; 2)$

Phương trình đường thẳng liền mạch d’ là:

    1(x - 0) + 2(y - 2) = 0

$\Rightarrow$ x + 2y - 4 = 0 

$\Rightarrow$ Chọn đáp án C

VD2: Trong mặt mũi phẳng lặng Oxy cho tới đường thẳng liền mạch d sở hữu phương trình là 

3x - 4y + 6 = 0, điểm I(2; -4). Viết phương trình đường thẳng liền mạch d' biết d’ là hình ảnh của d qua quýt phép đối xứng tâm I.

a. 3x + 2y + 34 = 0 

b. -3x + 2y + 34 = 0 

c. 2x + 3y - 34 = 0 

d. -2x + 3y - 34 = 0 

Giải

Ta sở hữu phương trình d là 3x - 2y + 6 = 0, 

Lấy 2 điểm A(0; 3), B(-2; 0)

Sử dụng phép đối xứng tâm I, tao gọi A’, B’ thứu tự là hình ảnh của A, B. Khi cơ biểu thức tọa phỏng phép đối xứng tâm I là:

     $x_{A'}=2a - x_{A}$ 

     $y_{A'} =2b - y_{A}$

 ⇔ $x_{A'}=2 . 2 - 0$ 

      $y_{A'}=2 . (-4) - 3$  

⇔ $x_{A'}=4$ 

     $y_{A'}= -11$  

$\Rightarrow$ A’(4, -11)

Tương tự:

     $x_{B'}=2a - x_{B}$ 

     $y_{B'}=2b - y_{B}$

 ⇔ $x_{B'}=2 . 2 + 2$ 

      $y_{A'}=2 . (-4) - 0$  

⇔ $x_{A'}=6$ 

     $y_{A'}= -8$  

$\Rightarrow$ B’(6, -8)

Sử dụng phép đối xứng tâm I tao sở hữu d’ là hình ảnh của d. Khi cơ, d’ tiếp tục trải qua nhì điểm A’ và B’.

Ta có: $\overline{A'B'} (2; 3) \Rightarrow \bar{n} (-3; 2)$

Phương trình đường thẳng liền mạch d’ là:

    -3(x - 4) + 2(y + 11) = 0

$\Rightarrow -3x + 2y + 34 = 0$ 

$\Rightarrow$ Chọn đáp án B 

Đăng ký tức thì sẽ được những thầy cô ôn tập luyện kiến thức và kỹ năng và xây đắp quãng thời gian ôn thi đua Toán trung học phổ thông Quốc gia sớm đạt 9+

5.3. Dạng 3: Tìm hình ảnh của lối tròn trĩnh qua quýt phép đối xứng tâm

Phương pháp: nhờ vào việc biến hóa lối tròn trĩnh trở nên lối tròn trĩnh sở hữu nằm trong nửa đường kính của phép đối xứng tâm.

- Cách 1: Tìm nửa đường kính và tâm của lối tròn trĩnh. 

- Cách 2: Dùng phép đối xứng tâm thám thính hình ảnh của tâm lối tròn trĩnh.

- Cách 3: Viết phương trình lối tròn trĩnh sở hữu nửa đường kính vị nửa đường kính lối tròn trĩnh đề bài bác và sở hữu tâm vừa vặn tìm kiếm ra phía trên.

VD1: Trong mặt mũi phẳng lặng tọa phỏng Oxy, thám thính phương trình lối tròn trĩnh (C') là hình ảnh của lối tròn trĩnh (C): $(x - 1)^{2} + (y+3)^{2}=16$ qua quýt phép đối xứng tâm O(0; 0).

a. $(x + 1)^{2} + (y - 3)^{2}=16$

b. $(x - 1)^{2} + (y + 3)^{2}=16$

c. $(x - 1)^{2} + (y + 3)^{2}=9$

d. $(x + 1)^{2} + (y - 3)^{2}=9$

Giải

Gọi tâm và nửa đường kính của lối tròn trĩnh (C) thứu tự là I và R

Ta sở hữu phương trình (C): $(x - 1)^{2} + (y + 3)^{2}=16$

Suy ra: tọa phỏng I(1; -3), R = 4

Gọi tâm và nửa đường kính của lối tròn trĩnh (C’) thứu tự là I’ và R’

Theo đặc điểm của phép đối xứng tâm O, tao có 

R’ = R = 4

Biểu thức tọa phỏng phép đối xứng tâm O là:

    x’ = - x = -1

    y’ = - nó = 3

$\Rightarrow$ I’(-1; 3)

Suy đi ra phương trình lối tròn trĩnh (C’) là:

        $(x + 1)^{2} + (y - 3)^{2}=16$

$\Rightarrow$ Chọn đáp án A

VD2: Trong mặt mũi phẳng lặng Oxy cho tới lối tròn trĩnh (C): $x^{2} + y^{2} + 2x - 4y + 1=0$ điểm A(1; 2). Tìm hình ảnh của (C) qua quýt phép đối xứng tâm A.

a. $(x + 3)^{2} + (y + 2)^{2}=4$

b. $(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2}=4$

c. $(x + 3)^{2} + (y - 2)^{2}=4$

d. $(x - 3)^{2} + (y - 2)^{2}=4$

Giải

Gọi tâm và nửa đường kính của lối tròn trĩnh (C) thứu tự là I và R

Ta sở hữu phương trình (C): 

     $x^{2} + y^{2} + 2x - 4y + 1=0$

⇔ $(x^{2} + 2x +1) + (y^{2} - 4y + 4) + 1 - 1 - 4=0$

⇔ $(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2}=4$

Suy ra: I(-1; 2) và R = 2

Gọi tâm lối tròn trĩnh (C’) là hình ảnh của (C) qua quýt phép đối xứng tâm A sở hữu tâm và nửa đường kính thứu tự là I’ và R’

Ta có:

R’ = R = 2

Biểu thức tọa phỏng phép đối xứng tâm A là:

     x’ = 2a - x

     y’ = 2b - y 

⇔ x’ = 2 . 1 + 1

     y’ = 2 . 2 - 2 

⇔ x’ = 3

     y’ = 2

$\Rightarrow$ I’(3; 2)

Suy đi ra phương trình lối tròn trĩnh (C’) là:

$(x - 3)^{2} + (y - 2)^{2}=4$

$\Rightarrow$ Chọn đáp án D

Trên đấy là vừa đủ nội dung và bài bác tập luyện sở hữu tiếng giải cụ thể về phép đối xứng tâm thuộc lịch trình Toán 11. Hy vọng những em rất có thể xem thêm và áp dụng chất lượng tốt bài bác giảng này nhằm đạt điểm trên cao trong những kỳ thi đua sắp tới đây. Các em rất có thể truy vấn tức thì Vuihoc.vn nhằm ĐK thông tin tài khoản hoặc contact trung tâm tương hỗ nhằm sẵn sàng được kiến thức và kỹ năng rất tốt cho tới kỳ thi đua trung học phổ thông Quốc gia nhé!

Bài ghi chép xem thêm thêm:

Phép quay

Phép đối xứng trục

Phép tịnh tiến