Công thức, cách tính góc giữa hai vecto (cực hay, chi tiết).

Bài viết lách Công thức, phương pháp tính góc đằm thắm nhì vecto với cách thức giải cụ thể gom học viên ôn tập luyện, biết phương pháp thực hiện bài xích tập luyện Công thức, phương pháp tính góc đằm thắm nhì vecto.

Công thức, phương pháp tính góc đằm thắm nhì vecto (cực hoặc, chi tiết)

A. Phương pháp giải

Phương pháp 1: Sử dụng khái niệm góc đằm thắm nhì vectơ

Định nghĩa góc đằm thắm nhì vectơ: Cho nhì vectơ đều không giống vectơ-không. Từ một điểm O ngẫu nhiên, tao vẽ những vectơ . Khi cơ số đo của góc AOB, được gọi là số đo góc đằm thắm nhì vectơ , hoặc giản dị là góc đằm thắm nhì vectơ .

Phương pháp 2: (Áp dụng vô hệ tọa độ) Tính cos góc đằm thắm nhì vectơ, kể từ cơ suy rời khỏi góc đằm thắm 2 vectơ.

Sử dụng công thức sau:

Cho nhì vectơ . Khi đó

Chú ý: Góc đằm thắm nhì vectơ nằm trong [0°;180°]

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông cân nặng bên trên A. Tính góc đằm thắm nhì vectơ:

Hướng dẫn giải:

- Nhớ lại định nghĩa nhì vectơ đều nhau ở chương 1: Hai vectơ đều nhau Khi bọn chúng nằm trong phía và nằm trong chừng nhiều năm.

- Trên tia đối của tia CB lấy D sao mang lại CB = CD.

Ví dụ 2: Cho những vectơ Tính góc đằm thắm nhì vectơ .

Hướng dẫn giải:

Vậy góc đằm thắm nhì vectơ là góc α ∈ [0°;180°] vừa lòng .

Ví dụ 3: Trong mặt mũi phẳng lì tọa chừng Oxy, mang lại nhì vectơ . Tính góc đằm thắm nhì vectơ .

A. 45°

B. 60°

C. 90°

D. 30°

Hướng dẫn giải:

Đáp án A

Ví dụ 4: Cho nhì vectơ có tính nhiều năm vị 1 và vừa lòng ĐK . Tính góc đằm thắm nhì vectơ .

A. 60°

B. 30°

C. 120°

D. 150°

Hướng dẫn giải:

Vì (bình phương vô phía vị bình phương chừng dài)

Đáp án C

Ví dụ 5: Cho những vectơ vừa lòng . Góc đằm thắm vectơ và vectơ là

A. 30°

B. 60°

C. 90°

D. 120°

Hướng dẫn giải:

Đáp án A

C. Bài tập luyện tự động luyện

Bài 1. Tính góc đằm thắm vecto a và vectơ c, biết vectơ $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ và mang lại các vectơ a và b thoả mãn |a| = 4, |b| = 2.

Hướng dẫn giải

Ta có: c = a – b

Nên c² = (a – b)² = a² – 2ab + b² = |a|² – 2|a| . |b| . cos(a,b) + |b|²

Suy rời khỏi c² = 4² – 2.4.1.cos60^o + 2² = 3 hoặc |c| = $\sqrt{3}$.

Ta lại có: a . c = a . (a – b) = a² – a . b hay a . c =3 

Do đó a . c = |a| . |c| . cos (a, c)

Hay 3 = 2.$\sqrt{3}$. cos(a, c)

Do cơ, cos(a, c) = $\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Vậy góc giữa 2 vectơ bằng 30^o.

Bài 2. Tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC song một vuông góc và đều có độ dài là 1. Gọi M là trung điểm của canh AB. Tính góc giữa nhì vectơ $\overrightarrow{OM},\overrightarrow{BC}$.

Hướng dẫn giải

Lấy N là trung điểm của AC suy rời khỏi MN // BC.

Ta có: $\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{BC}\right)=\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{MN}\right)=180°-\widehat{OMN}$

Xét tam giác OMN có OM = ON = $\frac{1}{\sqrt{2}}$; MN = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Suy rời khỏi $\cos \widehat{OMN}=\frac{1}{2}$ hoặc $\widehat{OMN}=60°$.

Do cơ $\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{BC}\right)=120°$.

Bài 3. Tính góc đằm thắm 2 vectơ a và b, hiểu được 2 vectơ a và b có độ bài bằng 1 và thoả mãn điều kiện |3a + 2b| = $\sqrt{7}$.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\left|3a+2b\right|=\sqrt{7}$ hoặc ${\left(3a\cdot 2b\right)}^2 =7$ nên 9a² + 12b + 4b = 7

Vì a² = |a|² =1; b² = |b|² =1.

Nê 4 . 1 + 12ab + 9 . 1 =  7 nên 12ab = 7 – 4 – 9  = –6 hoặc ab = $-\frac{1}{2}$.

Do đó: $cos\left(a;b\right)=\frac{a.b}{\left|a\right|.\left|b\right|}=-\frac{1}{2}$.

Vậy góc giữa 2 vectơ a và b là 120 độ.

Bài 4. Cho hình thoi ABCD với $\widehat{BAD}=120°$. Tính góc giữa nhì vectơ $\overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{AD}$.

Hướng dẫn giải

Ta có AB // DC và AB = DC (vì ABCD là hình thoi)

Suy rời khỏi $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AD}$ nên $\left(\overrightarrow{DC},\overrightarrow{AD}\right)=\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)$.

Mà $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)=\widehat{BAD}=120°$.

Do cơ $\left(\overrightarrow{DC},\overrightarrow{AD}\right)=120°$.

Bài 5. Cho tứ diện ABCD có AC = BD = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm BC, AD. Biết rằng MN = $a\sqrt{3}$. Tính góc giữa AC và BD.

Hướng dẫn giải

Gọi I là trung điểm của AB, tao có IM = IN = a

Áp dụng định lý của Cosin mang lại tam giác IMN tao có:

$\cos \widehat{MIN}=\frac{I{M}^2+I{N}^2-M{N}^2}{2.IM.IN}$ = $\frac{a^2+a^2-3a^2}{2.a.a}=-\frac{1}{2}$

=> $\widehat{MIN}=60°$.

Vậy góc đằm thắm AC và BD vị 60 chừng.

Bài 6. Cho những vectơ $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j};\overrightarrow{b}=\overrightarrow{2i}+\overrightarrow{3j}$. Tính góc đằm thắm nhì vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$.

Bài 7. Trong mặt mũi phẳng lì tọa chừng Oxy, mang lại nhì vectơ $\overrightarrow{a}=\left(2;5\right);\overrightarrow{b}=\left(3;7\right)$. Tính góc đằm thắm nhì vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$. 

Bài 8. cho nhì vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$ có tính nhiều năm vị 1 và vừa lòng ĐK $\left|3\overrightarrow{a}+5\overrightarrow{b}=9\right|$. Tính góc đằm thắm nhì vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$. 

Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có lòng là hình vuông cạnh $a\sqrt{3}$, SA vuông góc với mặt phẳng đáy tại A, SA = $a\sqrt{2}$. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD.

Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đấy ABCD là hình bình hành với BC = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, Góc giữa nhì đường thẳng SD và BC nằm vô khoảng nào?

Xem tăng những dạng bài xích tập luyện Toán lớp 10 tinh lọc, với đáp án hoặc không giống khác:

• Cách tính chừng nhiều năm vecto, khoảng cách đằm thắm nhì điểm vô hệ tọa chừng (cực hoặc, chi tiết)
• Cách chứng tỏ Hai vecto vuông góc (cực hoặc, chi tiết)
• Tìm m nhằm góc đằm thắm nhì vecto vị một số trong những mang lại trước rất rất hoặc (45 chừng, góc nhọn, góc tù)
• Cách giải bài xích tập luyện về Định lí Cô-sin vô tam giác (cực hoặc, chi tiết)

Để học tập chất lượng lớp 10 những môn học tập sách mới:

• Giải bài xích tập luyện Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài xích tập luyện Lớp 10 Chân trời sáng sủa tạo
• Giải bài xích tập luyện Lớp 10 Cánh diều

tich-vo-huong-cua-hai-vecto-va-ung-dung.jsp