Công thức, cách tính góc giữa hai vecto (cực hay, chi tiết).

Bài ghi chép Công thức, phương pháp tính góc thân thiết nhị vecto với cách thức giải cụ thể canh ty học viên ôn luyện, biết phương pháp thực hiện bài bác luyện Công thức, phương pháp tính góc thân thiết nhị vecto.

Công thức, phương pháp tính góc thân thiết nhị vecto (cực hoặc, chi tiết)

A. Phương pháp giải

Phương pháp 1: Sử dụng khái niệm góc thân thiết nhị vectơ

Định nghĩa góc thân thiết nhị vectơ: Cho nhị vectơ đều không giống vectơ-không. Từ một điểm O ngẫu nhiên, tớ vẽ những vectơ . Khi bại liệt số đo của góc AOB, được gọi là số đo góc thân thiết nhị vectơ , hoặc giản dị và đơn giản là góc thân thiết nhị vectơ .

Phương pháp 2: (Áp dụng vô hệ tọa độ) Tính cos góc thân thiết nhị vectơ, kể từ bại liệt suy rời khỏi góc thân thiết 2 vectơ.

Sử dụng công thức sau:

Cho nhị vectơ . Khi đó

Chú ý: Góc thân thiết nhị vectơ nằm trong [0°;180°]

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông cân nặng bên trên A. Tính góc thân thiết nhị vectơ:

Hướng dẫn giải:

- Nhớ lại định nghĩa nhị vectơ đều nhau ở chương 1: Hai vectơ đều nhau khi bọn chúng nằm trong phía và nằm trong phỏng nhiều năm.

- Trên tia đối của tia CB lấy D sao mang lại CB = CD.

Ví dụ 2: Cho những vectơ Tính góc thân thiết nhị vectơ .

Hướng dẫn giải:

Vậy góc thân thiết nhị vectơ là góc α ∈ [0°;180°] thỏa mãn nhu cầu .

Ví dụ 3: Trong mặt mày phẳng lì tọa phỏng Oxy, mang lại nhị vectơ . Tính góc thân thiết nhị vectơ .

A. 45°

B. 60°

C. 90°

D. 30°

Hướng dẫn giải:

Đáp án A

Ví dụ 4: Cho nhị vectơ có tính nhiều năm vị 1 và thỏa mãn nhu cầu ĐK . Tính góc thân thiết nhị vectơ .

A. 60°

B. 30°

C. 120°

D. 150°

Hướng dẫn giải:

Vì (bình phương vô phía vị bình phương phỏng dài)

Đáp án C

Ví dụ 5: Cho những vectơ thỏa mãn nhu cầu . Góc thân thiết vectơ và vectơ là

A. 30°

B. 60°

C. 90°

D. 120°

Hướng dẫn giải:

Đáp án A

C. Bài luyện tự động luyện

Bài 1. Tính góc thân thiết vecto a và vectơ c, biết vectơ $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ và mang lại các vectơ a và b thoả mãn |a| = 4, |b| = 2.

Hướng dẫn giải

Ta có: c = a – b

Nên c² = (a – b)² = a² – 2ab + b² = |a|² – 2|a| . |b| . cos(a,b) + |b|²

Suy rời khỏi c² = 4² – 2.4.1.cos60^o + 2² = 3 hoặc |c| = $\sqrt{3}$.

Ta lại có: a . c = a . (a – b) = a² – a . b hay a . c =3 

Do đó a . c = |a| . |c| . cos (a, c)

Hay 3 = 2.$\sqrt{3}$. cos(a, c)

Do bại liệt, cos(a, c) = $\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Vậy góc giữa 2 vectơ bằng 30^o.

Bài 2. Tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC song một vuông góc và đều có độ dài là 1. Gọi M là trung điểm của canh AB. Tính góc giữa nhị vectơ $\overrightarrow{OM},\overrightarrow{BC}$.

Hướng dẫn giải

Lấy N là trung điểm của AC suy rời khỏi MN // BC.

Ta có: $\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{BC}\right)=\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{MN}\right)=180°-\widehat{OMN}$

Xét tam giác OMN có OM = ON = $\frac{1}{\sqrt{2}}$; MN = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Suy rời khỏi $\cos \widehat{OMN}=\frac{1}{2}$ hoặc $\widehat{OMN}=60°$.

Do bại liệt $\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{BC}\right)=120°$.

Bài 3. Tính góc thân thiết 2 vectơ a và b, hiểu được 2 vectơ a và b có độ bài bằng 1 và thoả mãn điều kiện |3a + 2b| = $\sqrt{7}$.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\left|3a+2b\right|=\sqrt{7}$ hoặc ${\left(3a\cdot 2b\right)}^2 =7$ nên 9a² + 12b + 4b = 7

Vì a² = |a|² =1; b² = |b|² =1.

Nê 4 . 1 + 12ab + 9 . 1 =  7 nên 12ab = 7 – 4 – 9  = –6 hoặc ab = $-\frac{1}{2}$.

Do đó: $cos\left(a;b\right)=\frac{a.b}{\left|a\right|.\left|b\right|}=-\frac{1}{2}$.

Vậy góc giữa 2 vectơ a và b là 120 độ.

Bài 4. Cho hình thoi ABCD sở hữu $\widehat{BAD}=120°$. Tính góc giữa nhị vectơ $\overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{AD}$.

Hướng dẫn giải

Ta có AB // DC và AB = DC (vì ABCD là hình thoi)

Suy rời khỏi $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AD}$ nên $\left(\overrightarrow{DC},\overrightarrow{AD}\right)=\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)$.

Mà $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)=\widehat{BAD}=120°$.

Do bại liệt $\left(\overrightarrow{DC},\overrightarrow{AD}\right)=120°$.

Bài 5. Cho tứ diện ABCD có AC = BD = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm BC, AD. Biết rằng MN = $a\sqrt{3}$. Tính góc giữa AC và BD.

Hướng dẫn giải

Gọi I là trung điểm của AB, tớ có IM = IN = a

Áp dụng định lý của Cosin mang lại tam giác IMN tớ có:

$\cos \widehat{MIN}=\frac{I{M}^2+I{N}^2-M{N}^2}{2.IM.IN}$ = $\frac{a^2+a^2-3a^2}{2.a.a}=-\frac{1}{2}$

=> $\widehat{MIN}=60°$.

Vậy góc thân thiết AC và BD vị 60 phỏng.

Bài 6. Cho những vectơ $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j};\overrightarrow{b}=\overrightarrow{2i}+\overrightarrow{3j}$. Tính góc thân thiết nhị vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$.

Bài 7. Trong mặt mày phẳng lì tọa phỏng Oxy, mang lại nhị vectơ $\overrightarrow{a}=\left(2;5\right);\overrightarrow{b}=\left(3;7\right)$. Tính góc thân thiết nhị vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$. 

Bài 8. cho nhị vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$ có tính nhiều năm vị 1 và thỏa mãn nhu cầu ĐK $\left|3\overrightarrow{a}+5\overrightarrow{b}=9\right|$. Tính góc thân thiết nhị vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$. 

Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có lòng là hình vuông cạnh $a\sqrt{3}$, SA vuông góc với mặt phẳng đáy tại A, SA = $a\sqrt{2}$. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD.

Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đấy ABCD là hình bình hành với BC = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, Góc giữa nhị đường thẳng SD và BC nằm vô khoảng nào?

Xem tăng những dạng bài bác luyện Toán lớp 10 tinh lọc, sở hữu đáp án hoặc không giống khác:

• Cách tính phỏng nhiều năm vecto, khoảng cách thân thiết nhị điểm vô hệ tọa phỏng (cực hoặc, chi tiết)
• Cách chứng tỏ Hai vecto vuông góc (cực hoặc, chi tiết)
• Tìm m nhằm góc thân thiết nhị vecto vị một vài mang lại trước vô cùng hoặc (45 phỏng, góc nhọn, góc tù)
• Cách giải bài bác luyện về Định lí Cô-sin vô tam giác (cực hoặc, chi tiết)

Để học tập chất lượng lớp 10 những môn học tập sách mới:

• Giải bài bác luyện Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài bác luyện Lớp 10 Chân trời sáng sủa tạo
• Giải bài bác luyện Lớp 10 Cánh diều

tich-vo-huong-cua-hai-vecto-va-ung-dung.jsp