Công thức, cách tính góc giữa hai vecto (cực hay, chi tiết).

Bài ghi chép Công thức, phương pháp tính góc thân thuộc nhì vecto với cách thức giải cụ thể hùn học viên ôn luyện, biết phương pháp thực hiện bài bác luyện Công thức, phương pháp tính góc thân thuộc nhì vecto.

Công thức, phương pháp tính góc thân thuộc nhì vecto (cực hoặc, chi tiết)

A. Phương pháp giải

Phương pháp 1: Sử dụng khái niệm góc thân thuộc nhì vectơ

Định nghĩa góc thân thuộc nhì vectơ: Cho nhì vectơ đều không giống vectơ-không. Từ một điểm O ngẫu nhiên, tao vẽ những vectơ . Khi bại số đo của góc AOB, được gọi là số đo góc thân thuộc nhì vectơ , hoặc giản dị và đơn giản là góc thân thuộc nhì vectơ .

Phương pháp 2: (Áp dụng vô hệ tọa độ) Tính cos góc thân thuộc nhì vectơ, kể từ bại suy đi ra góc thân thuộc 2 vectơ.

Sử dụng công thức sau:

Cho nhì vectơ . Khi đó

Chú ý: Góc thân thuộc nhì vectơ nằm trong [0°;180°]

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông cân nặng bên trên A. Tính góc thân thuộc nhì vectơ:

Hướng dẫn giải:

- Nhớ lại định nghĩa nhì vectơ đều nhau ở chương 1: Hai vectơ đều nhau khi bọn chúng nằm trong phía và nằm trong phỏng nhiều năm.

- Trên tia đối của tia CB lấy D sao cho tới CB = CD.

Ví dụ 2: Cho những vectơ Tính góc thân thuộc nhì vectơ .

Hướng dẫn giải:

Vậy góc thân thuộc nhì vectơ là góc α ∈ [0°;180°] vừa lòng .

Ví dụ 3: Trong mặt mày bằng phẳng tọa phỏng Oxy, cho tới nhì vectơ . Tính góc thân thuộc nhì vectơ .

A. 45°

B. 60°

C. 90°

D. 30°

Hướng dẫn giải:

Đáp án A

Ví dụ 4: Cho nhì vectơ có tính nhiều năm bởi 1 và vừa lòng ĐK . Tính góc thân thuộc nhì vectơ .

A. 60°

B. 30°

C. 120°

D. 150°

Hướng dẫn giải:

Vì (bình phương vô phía bởi bình phương phỏng dài)

Đáp án C

Ví dụ 5: Cho những vectơ vừa lòng . Góc thân thuộc vectơ và vectơ là

A. 30°

B. 60°

C. 90°

D. 120°

Hướng dẫn giải:

Đáp án A

C. Bài luyện tự động luyện

Bài 1. Tính góc thân thuộc vecto a và vectơ c, biết vectơ $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ và cho tới các vectơ a và b thoả mãn |a| = 4, |b| = 2.

Hướng dẫn giải

Ta có: c = a – b

Nên c² = (a – b)² = a² – 2ab + b² = |a|² – 2|a| . |b| . cos(a,b) + |b|²

Suy đi ra c² = 4² – 2.4.1.cos60^o + 2² = 3 hoặc |c| = $\sqrt{3}$.

Ta lại có: a . c = a . (a – b) = a² – a . b hay a . c =3 

Do đó a . c = |a| . |c| . cos (a, c)

Hay 3 = 2.$\sqrt{3}$. cos(a, c)

Do bại, cos(a, c) = $\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Vậy góc giữa 2 vectơ bằng 30^o.

Bài 2. Tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC song một vuông góc và đều có độ dài là 1. Gọi M là trung điểm của canh AB. Tính góc giữa nhì vectơ $\overrightarrow{OM},\overrightarrow{BC}$.

Hướng dẫn giải

Lấy N là trung điểm của AC suy đi ra MN // BC.

Ta có: $\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{BC}\right)=\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{MN}\right)=180°-\widehat{OMN}$

Xét tam giác OMN có OM = ON = $\frac{1}{\sqrt{2}}$; MN = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Suy đi ra $\cos \widehat{OMN}=\frac{1}{2}$ hoặc $\widehat{OMN}=60°$.

Do bại $\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{BC}\right)=120°$.

Bài 3. Tính góc thân thuộc 2 vectơ a và b, hiểu được 2 vectơ a và b có độ bài bằng 1 và thoả mãn điều kiện |3a + 2b| = $\sqrt{7}$.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\left|3a+2b\right|=\sqrt{7}$ hoặc ${\left(3a\cdot 2b\right)}^2 =7$ nên 9a² + 12b + 4b = 7

Vì a² = |a|² =1; b² = |b|² =1.

Nê 4 . 1 + 12ab + 9 . 1 =  7 nên 12ab = 7 – 4 – 9  = –6 hoặc ab = $-\frac{1}{2}$.

Do đó: $cos\left(a;b\right)=\frac{a.b}{\left|a\right|.\left|b\right|}=-\frac{1}{2}$.

Vậy góc giữa 2 vectơ a và b là 120 độ.

Bài 4. Cho hình thoi ABCD với $\widehat{BAD}=120°$. Tính góc giữa nhì vectơ $\overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{AD}$.

Hướng dẫn giải

Ta có AB // DC và AB = DC (vì ABCD là hình thoi)

Suy đi ra $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AD}$ nên $\left(\overrightarrow{DC},\overrightarrow{AD}\right)=\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)$.

Mà $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)=\widehat{BAD}=120°$.

Do bại $\left(\overrightarrow{DC},\overrightarrow{AD}\right)=120°$.

Bài 5. Cho tứ diện ABCD có AC = BD = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm BC, AD. Biết rằng MN = $a\sqrt{3}$. Tính góc giữa AC và BD.

Hướng dẫn giải

Gọi I là trung điểm của AB, tao có IM = IN = a

Áp dụng định lý của Cosin cho tới tam giác IMN tao có:

$\cos \widehat{MIN}=\frac{I{M}^2+I{N}^2-M{N}^2}{2.IM.IN}$ = $\frac{a^2+a^2-3a^2}{2.a.a}=-\frac{1}{2}$

=> $\widehat{MIN}=60°$.

Vậy góc thân thuộc AC và BD bởi 60 phỏng.

Bài 6. Cho những vectơ $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j};\overrightarrow{b}=\overrightarrow{2i}+\overrightarrow{3j}$. Tính góc thân thuộc nhì vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$.

Bài 7. Trong mặt mày bằng phẳng tọa phỏng Oxy, cho tới nhì vectơ $\overrightarrow{a}=\left(2;5\right);\overrightarrow{b}=\left(3;7\right)$. Tính góc thân thuộc nhì vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$. 

Bài 8. cho nhì vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$ có tính nhiều năm bởi 1 và vừa lòng ĐK $\left|3\overrightarrow{a}+5\overrightarrow{b}=9\right|$. Tính góc thân thuộc nhì vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$. 

Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có lòng là hình vuông cạnh $a\sqrt{3}$, SA vuông góc với mặt phẳng đáy tại A, SA = $a\sqrt{2}$. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD.

Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đấy ABCD là hình bình hành với BC = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, Góc giữa nhì đường thẳng SD và BC nằm vô khoảng nào?

Xem tăng những dạng bài bác luyện Toán lớp 10 tinh lọc, với đáp án hoặc không giống khác:

• Cách tính phỏng nhiều năm vecto, khoảng cách thân thuộc nhì điểm vô hệ tọa phỏng (cực hoặc, chi tiết)
• Cách minh chứng Hai vecto vuông góc (cực hoặc, chi tiết)
• Tìm m nhằm góc thân thuộc nhì vecto bởi một vài cho tới trước rất rất hoặc (45 phỏng, góc nhọn, góc tù)
• Cách giải bài bác luyện về Định lí Cô-sin vô tam giác (cực hoặc, chi tiết)

Để học tập chất lượng lớp 10 những môn học tập sách mới:

• Giải bài bác luyện Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài bác luyện Lớp 10 Chân trời sáng sủa tạo
• Giải bài bác luyện Lớp 10 Cánh diều

tich-vo-huong-cua-hai-vecto-va-ung-dung.jsp