a) Xét tứ giác BHCK có:
MH = MK và MB = XiaoMi MI
Suy ra: BHCK là hình bình hành.
b) Vì BHCK là hình bình hành (chứng minh câu a)
Suy ra: BK // HC và CK // BH (tính hóa học hình bình hành)
Mà CH ⊥ AB và BH ⊥ AC
Suy ra: BK ⊥ AB và CK ⊥ AC.
c) Vì I đối xứng với H qua chuyện BC nên BC là lối trung trực của HI
Mà M nằm trong BC, suy đi ra MH = XiaoMi MI (tính hóa học lối trung trực)
Mà \[MH = MK = \frac{1}{2}HK\]
Suy ra: \[MI = MH = MK = \frac{1}{2}HK\]
Do cơ tam giác HIK vuông bên trên I hoặc HI ⊥ IK
Mà BC ⊥ HI (do BC là lối trung trực của HI)
Suy đi ra IK // BC
Do cơ BIKC là hình thang (1)
Ta đem BC là lối trung trực của HI, suy đi ra CI = CH
Mà CH = BK (vì BKCH là hình bình hành)
Suy đi ra BK = CI (2)
Từ (1) và (2) suy đi ra BICK là hình thang cân nặng (dấu hiệu nhận biết)
d) Gọi uỷ thác điểm của BC và HI là J.
Vì BK // CH nên GHCK là hình thang
Để hình thang GHCK là hình thang cân thì \(\widehat {GHC} = \widehat {KCH}\)
Mà \(\widehat {HCK} + \widehat {HCA} = 90^\circ \) và \(\widehat {GHC} + \widehat {HCB} = 90^\circ \) (vì tam giác HJC vuông bên trên J)
Suy đi ra \(\widehat {HCA} = \widehat {HCB}\)
Do cơ CH là lối phân giác của tam giác ABC
Lại đem CH là lối cao của tam giác ABC
Suy đi ra tam giác ABC cân nặng bên trên C
Vậy tam giác ABC cân nặng bên trên C thì GHCK là hình thang cân nặng.