Cách xét tính bị chặn của dãy số (cực hay có lời giải).

Bài viết lách Cách xét tính bị chặn của dãy số với cách thức giải cụ thể hùn học viên ôn tập luyện, biết phương pháp thực hiện bài bác tập luyện Cách xét tính bị chặn của dãy số.

Cách xét tính bị chặn của dãy số (cực hoặc với tiếng giải)

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

1) Nếu số hạng tổng quát lác mang đến bên dưới dạng thì:

Thu gọn gàng un, phụ thuộc biểu thức thu gọn gàng nhằm ngăn u_n.

Ta cũng rất có thể ngăn tổng vị một tổng nhưng mà tớ rất có thể hiểu rằng ngăn bên trên, ngăn bên dưới của chính nó.

2) Nếu mặt hàng số (u_n) mang đến vị một hệ thức truy hồi thì:

Dự đoán ngăn bên trên, ngăn bên dưới rồi chứng tỏ vị cách thức chứng tỏ quy hấp thụ.

Ta cũng rất có thể xét tính đơn điệu (nếu có) tiếp sau đó giải bất phương trình u_n+1 − u_n phụ thuộc ê ngăn (u_n).

3) Nếu số hạng tổng quát lác mang đến vị công thức thì tớ phụ thuộc cách thức review (chú ý n ∈ N*)

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét tính bị ngăn của những mặt hàng số (un) với

A. Bị chặn    B. Không bị chặn    C. Bị ngăn trên    D. Bị ngăn dưới

Hướng dẫn giải:

* Với n∈ N* tớ với :

Nên mặt hàng số bị ngăn bên dưới vị 0

+ Lại có; với n ∈ N*

Nên mặt hàng (u_n) bị ngăn bên trên vị 2.

=> mặt hàng số (u_n)bị ngăn.

Chọn A.

Ví dụ 2: Xét tính bị ngăn của những mặt hàng số (u_n) biết u_n = (−1)ⁿ

A. Bị chặn    B. Không bị chặn    C. Bị ngăn trên    D. Bị ngăn dưới

Hướng dẫn giải:

Ta có:

=> − 1 ≤ u_n ≤ 1 với từng n nên (un) là mặt hàng số bị ngăn.

Chọn A.

Quảng cáo

Ví dụ 3: Xét tính bị ngăn của những mặt hàng số (u_n) biết u_n = 4n − 2

A. Bị chặn    B. Không bị chặn    C. Bị ngăn trên    D. Bị ngăn bên dưới

Hướng dẫn giải:

Ta với n ≥ 1 nên 4n − 2 ≥ 2

=> mặt hàng số (u_n) bị ngăn bên dưới vị 2 và mặt hàng (u_n) không biến thành ngăn bên trên.

Chọn D.

Ví dụ 4: Cho mặt hàng số (u_n) xác lập vị . Chọn mệnh đề sai.

A. Dãy số (u_n) bị ngăn bên trên.

B.Dãy số (u_n) bị ngăn bên dưới.

C. Dãy số tăng.

D. Dãy số không biến thành ngăn.

Hướng dẫn giải:

+ Xét hiệu:

Vậy (u_n) là mặt hàng số tăng.

+ Ta có:

suy rời khỏi ∀n ∈ N*; u_n < 2 nên (u_n) bị ngăn bên trên. (1)

Vì (u_n) là mặt hàng số tăng nên

=> (u_n) bị ngăn bên dưới. (2)

Từ (1) và (2) suy rời khỏi (u_n) bị ngăn.

=> D sai.

Chọn D.

Ví dụ 5: Cho mặt hàng số (u_n) xác lập vị u_n = 1 + (n − 1) . 2ⁿ. Chọn mệnh đề sai.

A. Dãy số tăng.

B. Công thức truy hồi của mặt hàng số là:

C. 5 số hạng trước tiên của mặt hàng số là 1 trong những,5,17, 49, 129.

D. Dãy số bị ngăn bên trên.

Hướng dẫn giải:

+ Ta có:

=> C trúng

+ Xét hiệu:

Vậy công thức truy hồi:

+ Ta có: u_n+1 − u_n = (n+1). 2n > 0

Suy rời khỏi mặt hàng số (u_n) là mặt hàng số tăng.

Ta có: u_n = 1 + (n − 1).2ⁿ ≥ 1 với ∀n ≥ 1

=> (u_n) là mặt hàng số bị ngăn bên dưới.

=> D sai.

Chọn D.

Quảng cáo

Ví dụ 6: Cho mặt hàng số (u_n) xác lập vị . Chọn mệnh đề trúng.

A. Dãy số (u_n) bị ngăn bên trên ; không biến thành ngăn bên dưới.

B. Dãy số (u_n) bị ngăn bên dưới ; không biến thành ngăn bên trên.

C.Dãy số (u_n) không biến thành ngăn.

D. Dãy số (u_n) bị ngăn.

Hướng dẫn giải:

Công thức u_n được viết lách lại:

Với từng n ∈ N* tớ với : 2n² + 4 > 0

=> (u_n) bị ngăn bên trên vị

+ Lại với : với từng n ∈ N* thì : n² + 1 > 0 và 2n² + 4 > 0

=>(u_n) bị ngăn bên dưới vị 0.

Vậy mặt hàng số (u_n) là bị ngăn

Chọn D.

Ví dụ 7: Cho mặt hàng số (u_n) xác lập vị . Chọn mệnh đề sai.

A. Dãy số tăng.

B. Dãy số bị ngăn bên trên.

C. Dãy số bị ngăn bên dưới tuy nhiên không biến thành ngăn bên trên.

D.Dãy số bị ngăn.

Hướng dẫn giải:

* Ta viết lách lại:

Xét hiệu số:

Vậy mặt hàng số (u_n) là mặt hàng số tăng.

* Ta có:

Suy rời khỏi (u_n) là 1 trong mặt hàng số bị ngăn.

Kết luận (u_n) là 1 trong mặt hàng số tăng và bị ngăn.

Chọn C.

Ví dụ 8: Cho mặt hàng số (u_n) được xác lập vị u_n = n² − 4n + 3. Tìm mệnh đề sai.

A. Công thức truy hồi của mặt hàng số là :

B. Dãy số bị ngăn bên dưới.

C. Tổng n số hạng trước tiên của mặt hàng số là

D. Dãy số bị ngăn bên trên.

Hướng dẫn giải:

* Ta có: u₁ = 1² − 4.1 + 3 = 0

Xét hiệu:

Vậy công thức truy hồi:

* Ta có: u_n = n² − 4n + 4 − 1 = (n − 2)² − 1 ≥ 1 với ∀n ≥ 1

Vậy mặt hàng số bị ngăn bên dưới, tuy nhiên không biến thành ngăn bên trên.

*Ta có:

Chọn D.

Ví dụ 9: Cho mặt hàng số (u_n) xác lập vị . Tìm mệnh đề trúng nhất ?

A. Dãy số bị ngăn bên trên ; không biến thành ngăn bên dưới.

B. Dãy số bị ngăn bên dưới ; không biến thành ngăn bên trên.

C. Dãy số không biến thành ngăn.

D. Dãy số bị ngăn.

Hướng dẫn giải:

+ Rõ ràng u_n > 0 với từng n nên (u_n) bị ngăn bên dưới vị 0.

+ Lại có:

Suy ra:

=> (u_n) bị ngăn bên trên.

Kết luận (u_n) bị ngăn.

Chọn D.

Quảng cáo

Ví dụ 10: Cho mặt hàng số (u_n) xác lập vị . Chọn mệnh đề trúng ?

A. Dãy số bị ngăn.

B. Dãy số bị ngăn bên trên tuy nhiên không biến thành ngăn bên dưới.

C. Dãy số bị ngăn bên dưới tuy nhiên không biến thành ngăn bên trên.

D. Dãy số không biến thành ngăn .

Hướng dẫn giải:

* Rõ ràng u_n > 0 với ∀n ∈ N* nên (u_n) bị ngăn bên dưới vị 0.

* Có . Do đó:

với từng n.

=> (u_n) bị ngăn bên trên vị 2.

Kết luận (u_n) bị ngăn.

Chọn A.

Ví dụ 11: Xét tính tăng, hạn chế và bị ngăn của mặt hàng số (u_n) biết

A. Dãy số tăng, bị ngăn trên    B. Dãy số tăng, bị ngăn dưới

C. Dãy số hạn chế, bị ngăn trên    D. Cả A, B, C đều sai

Hướng dẫn giải:

* Với từng n ∈ N* ; tớ với u_n > 0. Xét tỉ số

=> u_n+1 < u_n nên mặt hàng (u_n) là mặt hàng số hạn chế.

* Vì mặt hàng số (u_n) là mặt hàng số hạn chế nên u_n ≤ u₁ = 2 ∀n

Suy ra: 0 < u_n ≤ 2 ∀n ∈ N*

=> mặt hàng (u_n) là mặt hàng bị ngăn.

Chọn D .

Ví dụ 12: Cho mặt hàng số . Xét mặt hàng số y_n = x_n+1 − x_n. Khẳng quyết định nào là trúng về mặt hàng (y_n)

A. Tăng,bị chặn    B. Giảm,bị chặn

C. Tăng,ngăn dưới    D. Giảm,ngăn bên trên

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Do đó:

Ta chứng tỏ mặt hàng (yn) tăng.

Ta có:

Ta chứng tỏ mặt hàng (y_n) bị ngăn.

Trước không còn tớ hội chứng minh: x_n ≤ 4(n−1) (1) với n ≥ 2

* Với n = 2, tớ có: x₂ = 4x₁ = 4 nên (1) trúng với n = 2.

* Giả sử (1) trúng với n = k, tức là: x_k ≤ 4(k−1). Ta chứng tỏ trúng với n = k + 1

Nên (1) trúng với n= k+1. Theo vẹn toàn lí quy hấp thụ tớ suy rời khỏi (1) đúng

Ta có:

Vậy câu hỏi được chứng tỏ.

C. Bài tập luyện trắc nghiệm

Câu 1: Xét tính bị ngăn của mặt hàng số (u_n): u_n = 4 − 3n − n²

A. Bị chặn    B. Không bị chặn

C. Bị ngăn trên    D. Bị ngăn bên dưới

Lời giải:

Đáp án: C

Ta với

=> mặt hàng số (u_n) bị ngăn trên; mặt hàng (u_n) không biến thành ngăn bên dưới.

Câu 2: Xét tính bị ngăn của mặt hàng số (u_n) biết

A. Bị chặn    B. Không bị chặn

C. Bị ngăn trên    D. Bị ngăn bên dưới

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có:

+ Với từng n ∈ N* tớ với 2n > 0 và n² − n + 1 > 0

nên u_n > 1 (1)

+ gí dụng bất đẳng thức Cô- si tớ được: n² + 1 ≥ 2n

=> n² − n + 1 ≥ n nên

=> u_n ≤ 3 (2).

Từ (1) và (2) suy rời khỏi mặt hàng số (u_n) là bị ngăn.

Câu 3: Xét tính bị ngăn của mặt hàng số (u_n) biết

A. Bị chặn    B. Không bị chặn

C. Bị ngăn trên    D. Bị ngăn bên dưới

Lời giải:

Đáp án: A

* Với từng n vẹn toàn dương tớ có:

* Lại có: với từng n ∈ N*

Vậy 0 < u_n ≤ 2 nên mặt hàng số (u_n) là mặt hàng số bị ngăn.

Câu 4: Cho mặt hàng số (u_n) xác đinh vị . Tìm mệnh đề đúng?

A. Dãy số bị ngăn bên trên.     B. Dãy số bị ngăn bên dưới.

C. Dãy số bị ngăn.     D. Dãy số ko bị ngăn.

Lời giải:

Đáp án: C

* Với từng n ∈ N* tớ có: u_n > 0

=> (u_n) bị ngăn bên dưới vị 0.

Lại có:

Suy rời khỏi

=> (u_n) bị ngăn bên trên vị

Kết luận (u_n) bị ngăn.

Câu 5: Cho mặt hàng số (u_n) xác đinh vị . Tìm mệnh đề sai?

A. Dãy số bị ngăn

B. Dãy số bị ngăn trên; không biến thành ngăn bên dưới.

C. Dãy số bị ngăn dưới; không biến thành ngăn bên trên.

D. Dãy số không biến thành ngăn.

Lời giải:

Đáp án: A

+ Với từng n ∈ N* tớ với u_n > 0 nên mặt hàng số bị ngăn bên dưới vị 0.

+ Lại có:

Suy ra:

Nên (u_n) bị ngăn bên trên.

Kết luận (u_n) bị ngăn.

Câu 5: Cho mặt hàng số (u_n) xác đinh vị . Tìm mệnh đề sai?

A. Với từng n ∈ N*; u_n < 15

B. Dãy số (u_n) là mặt hàng số tăng.

C. Dãy số (u_n) bị ngăn bên dưới.

D. Dãy số (u_n) bị ngăn.

Lời giải:

Đáp án: D

* Ta người sử dụng quy hấp thụ hội chứng minh: với từng n ∈ N*; u_n < 15

Ta với u₁ = 1 < 15 nên trúng với n= 1.

Giả sử trúng với n = k; k ∈ N* tức là có: u_k < 15.

khi ê

Vậy u_n < 15 với ∀n ∈ N*. (1)

* Ta với (do (1))

=> mặt hàng số (u_n) tăng

=> u_n ≥ u₁ = 1 nên (u_n) bị ngăn bên dưới vị 1.

Câu 6: Cho mặt hàng số (u_n) xác đinh vị . Tìm mệnh đề đúng?

A. Dãy số bị ngăn bên trên tuy nhiên không biến thành ngăn bên dưới.

B. Dãy số bị chặm bên dưới tuy nhiên không biến thành ngăn bên trên.

C. Dãy số bị ngăn.

D. Dãy số không biến thành ngăn.

Lời giải:

Đáp án: C

*Với k = 2,3...n tớ với

Do đó:

Vế nằm trong vế suy ra:

=>(u_n) bị ngăn bên trên vị 2.

* Mặt khác; với ∀n ∈ N* tớ có: u_n > 0

=> (u_n) bị ngăn bên dưới vị 0.

=> (u_n) bị ngăn.

Câu 7: Cho mặt hàng số (u_n) xác đinh vị . Tìm mệnh đề trúng trong số mệnh đề sau .

A. Dãy số (u_n) bị ngăn.

B.Dãy số (u_n) không biến thành ngăn .

C. Dãy số (u_n) bị ngăn bên trên tuy nhiên không biến thành ngăn bên dưới.

D. Dãy số (u_n) bị ngăn bên dưới tuy nhiên không biến thành ngăn bên trên.

Lời giải:

Đáp án: A

*Với từng n∈ N* tớ có: nên (u_n) bị ngăn bên dưới vị 0.

* Lại có:

Mà:

Suy ra: u_n < 3 với từng n nên mặt hàng số (u_n) bị ngăn bên trên vị 3.

Kết luận: mặt hàng số (u_n) bị ngăn.

Câu 8: Xét tính tăng, hạn chế và bị ngăn của mặt hàng số (u_n) biết

A. Dãy số tăng, bị chặn

B. Dãy số hạn chế, bị chặn

C. Dãy số ko tăng ko hạn chế, không biến thành chặn

D. Cả A, B, C đều sai

Lời giải:

Đáp án: A

* Ta có: với từng n ≥ 1.

Suy rời khỏi u_n+1 > u_n ∀n ≥ 1 ⇔ mặt hàng (u_n) là mặt hàng tăng.

* Mặt khác:

Với n ≥ 1; thì

Lại với với n ≥ 1 thì

Suy ra:

Vậy mặt hàng (u_n) là mặt hàng bị ngăn.

Câu 9: Xét tính tăng, hạn chế và bị ngăn của mặt hàng số (u_n) biết

A. Dãy số tăng, bị ngăn trên    B. Dãy số tăng, bị ngăn dưới

C. Dãy số hạn chế, bị ngăn trên    D. Cả A, B, C đều sai

Lời giải:

Đáp án: B

* Ta có:

=> u_n+1 > u_n ∀n > 1 => mặt hàng (u_n) là mặt hàng số tăng.

* Lại có:

mặt hàng (u_n) bị ngăn bên dưới.

Câu 10: Xét tính tăng, hạn chế và bị ngăn của mặt hàng số (u_n) biết

A. Dãy số tăng, bị ngăn trên    B. Dãy số tăng, bị ngăn dưới

C. Dãy số hạn chế, bị ngăn    D. Cả A, B, C đều sai

Lời giải:

Đáp án: C

+ Với từng n ∈ N* tớ với : u_n > 0 . Xét tỉ số :

=> u_n+1 < u_n với từng n.

=> Dãy số (u_n) là mặt hàng số hạn chế.

+ Mặt không giống : √(1 + n + n²) > 1 với ∀n ∈ N*

Vậy 0 < u_n < 1 nên mặt hàng (u_n) là mặt hàng bị ngăn.

Câu 11: Xét tính tăng hạn chế và bị ngăn của mặt hàng số

A. Tăng, bị chặn    B. Giảm, bị chặn

C. Tăng, ngăn dưới    D. Giảm, ngăn bên trên

Lời giải:

Đáp án: B

*Trước không còn vị quy hấp thụ tớ hội chứng minh: 1 < u_n ≤ 2

Điều này trúng với n = 1.

Giả sử trúng với n = k + 1 tức là: 1 < u_k ≤ 2. Ta chứng tỏ trúng với n = k+ 1.

Thật vậy tớ có:

nên tớ với đpcm.

Mà

Vậy mặt hàng (u_n) là mặt hàng hạn chế và bị ngăn.

Câu 12: Xét tính tăng hạn chế và bị ngăn của mặt hàng số

A. Tăng, bị chặn     B. Giảm, bị chặn

C. Tăng, ngăn dưới     D. Giảm, ngăn bên trên

Lời giải:

Đáp án: A

*Trước không còn tớ chứng tỏ 1 < u_n < 4

Điều này rõ ràng trúng với n = 1.

Giả sử trúng với n = k tức là: 1 < u_k < 4. Ta chứng tỏ trúng với n = k + 1

Thật vậy: 1 < u_k+1 = u_k + √(u_k-1) < √4 + √4 = 4

Vậy mặt hàng (u_n) là bị ngăn.

*Ta chứng tỏ (un) là mặt hàng tăng

Ta có: u₁ < u₂, fake sử u_n+1 < u_n, ∀n ≥ k.

Khi đó:

=> mặt hàng (u_n) là mặt hàng tăng.

Vậy mặt hàng (u_n) là mặt hàng tăng và bị ngăn.

D. Bài tập luyện tự động luyện

Bài 1. Xét tính bị ngăn của những mặt hàng số sau:

a. u_n = n² + n – 1

b. u_n = – n² + 1

Bài 2. Xét tính bị ngăn của mặt hàng số (u_n), với u_n = 2n – 1.

Bài 3. Xét tính bị ngăn của mặt hàng số sau: u_n = $\frac{1}{1.3}+\frac{1}{2.4}+\mathrm{...}+\frac{1}{n\left(n+2\right)}$.

Bài 4. Xét tính bị ngăn của mặt hàng số sau: u_n = $\frac{2n+1}{n+2}$.

Bài 5. Xét tính bị ngăn của mặt hàng số sau:

a. (a_n) với a_n = ${\sin }^2\frac{n\pi }{3}+\cos \frac{n\pi }{4}$;

b. (u_n) với u_n = $\frac{6n-4}{n+2}$.

Xem thêm thắt những dạng bài bác tập luyện Toán lớp 11 với vô đề thi đua trung học phổ thông Quốc gia khác:

• Cách chứng tỏ vị cách thức quy hấp thụ (cực hoặc với tiếng giải)
• Cách dò xét số hạng loại n của mặt hàng số (cực hoặc với tiếng giải)
• Cách dò xét công thức của số hạng tổng quát lác (cực hoặc với tiếng giải)
• Cách xét tính đơn điệu của mặt hàng số (cực hoặc với tiếng giải)
• Cách chứng tỏ một mặt hàng số là cung cấp số nằm trong (cực hoặc với tiếng giải)
• Cách dò xét số hạng trước tiên, công sai, số hạng loại k của cung cấp số cùng với hay

day-so-cap-so-cong-va-cap-so-nhan.jsp